Gibt es für exponentielle Familienverteilungen immer den Mittelwert und die Varianz?

Angenommen, eine skalare Zufallsvariable gehört zu einer Vektorparameter-Exponentialfamilie mit PDF $X$

f_{X} (x | θ) = h (x) \exp (\sum_{i = 1}^{s} η_{i} (θ) T_{i} (x) - A (θ))

$f_X(x|\boldsymbol \theta) = h(x) \exp\left(\sum_{i=1}^s \eta_i({\boldsymbol \theta}) T_i(x) - A({\boldsymbol \theta}) \right)$

wobei der Parametervektor ist und ist gemeinsame ausreichende Statistik. ${\boldsymbol \theta} = \left(\theta_1, \theta_2, \cdots, \theta_s \right )^T$ $\mathbf{T}(x)= \left(T_1(x), T_2(x), \cdots,T_s(x) \right)^T$

Es kann gezeigt werden, dass der Mittelwert und die Varianz für jedes existieren. Gibt es jedoch auch immer den Mittelwert und die Varianz für (dh und )? Wenn nicht, gibt es ein Beispiel für eine exponentielle Familienverteilung dieser Form, deren Mittelwert und Variable nicht existieren? $T_i(x)$ $X$ $E(X)$ $Var(X)$

Vielen Dank.

variance mean exponential-family sufficient-statistics Wei
quelle

Antworten:

Nimmt man , , und ergibt vorausgesetzt, , erzeugt $s=1$ $h(x)=1$ $\eta_1(\theta)=\theta$ $T_1(x)=\log(|x|+1)$ $A(\theta)=\log\left(-2/(1+\theta)\right)$ $\theta \lt -1$

f_{X} (x | θ) = \exp (θ \log (| x | + 1) - \log (\frac{- 2}{1 + θ})) = - \frac{1 + θ}{2} (1 + | x |)^{θ} .

$f_X(x|\theta) = \exp\left(\theta\log(|x|+1) - \log\left(\frac{-2}{1+\theta}\right)\right) = -\frac{1+\theta}{2}(1+|x|)^\theta.$

Graphen von ist gezeigt für $f_X(\ |\theta)$ $\theta=-3/2, -2, -3$ (in Blau, Rot und Gold, jeweils).

Offensichtlich existieren die absoluten Momente der Gewichte oder größer nicht, weil der Integrand , das asymptotisch proportional zu erzeugt genau dann ein konvergentes Integral an den Grenzen wenn . Insbesondere wenn $\alpha=-1-\theta$ $|x|^\alpha f_X(x|\theta)$ $|x|^{\alpha+\theta}$ $\pm\infty$ $\alpha+\theta\lt -1$ $-2 \le \theta \lt -1,$ Diese Verteilung hat nicht einmal einen Mittelwert (und schon gar keine Varianz).

whuber
quelle

Ich verstehe die Bedingung

. Meinst du

? Wenn

, ist

nicht definiert und

ist negativ und kann kein PDF sein. Bitte lassen Sie mich wissen, was ich verpasst habe. Vielen Dank.

θ < - 1

$\theta < -1$

θ > - 1

$\theta > -1$

θ < - 1

$\theta < -1$

A (θ)

$A(\theta)$

f_{X} (x | θ)

$f_X(x|\theta)$

Wei

A

$A$

θ < - 1

$\theta\lt -1$ .

whuber

| x |

$|x|$

x

$x$

- 2 < θ < - 1

$-2<\theta <-1$ in your example above, does

E (x)

$E(x)$ exist?

Wei

Because the Lebesgue integral is defined in terms of the positive and negative parts of the integrand, the moments of

x

$x$ exist if and only if the moments of

| x |

$|x|$ exist.

whuber

@Wei:

E {g (X)}

$\mathrm{E}\{g(X)\}$ exists only if

E {| g (X) |} < \infty

$\mathrm{E}\{\, \left| g(X)\, \right| \} < \infty$ . Without this restriction,the expectation is not uniquely defined for some CDFs.

Dennis