Gibt es für exponentielle Familienverteilungen immer den Mittelwert und die Varianz?

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Angenommen, eine skalare Zufallsvariable gehört zu einer Vektorparameter-Exponentialfamilie mit PDFX

fX(x|θ)=h(x)exp(i=1sηi(θ)Ti(x)A(θ))

wobei der Parametervektor ist und T ( x ) = ( T 1 ( x ) , T 2 ( x ) , , T s ( x ) ) T der ist gemeinsame ausreichende Statistik.θ=(θ1,θ2,,θs)TT(x)=(T1(x),T2(x),,Ts(x))T

Es kann gezeigt werden, dass der Mittelwert und die Varianz für jedes existieren. Gibt es jedoch auch immer den Mittelwert und die Varianz für X (dh E ( X ) und V a r ( X ) )? Wenn nicht, gibt es ein Beispiel für eine exponentielle Familienverteilung dieser Form, deren Mittelwert und Variable nicht existieren?Ti(x)XE(X)Var(X)

Vielen Dank.

Wei
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Antworten:

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Nimmt man , h ( x ) = 1 , η 1 ( θ ) = θ und T 1 ( x ) = log ( | x | + 1 ) ergibt A ( θ ) = log ( - 2 / ( 1 + θ) ) ) vorausgesetzt, θ < - 1 , erzeugts=1h(x)=1η1(θ)=θT1(x)=log(|x|+1)A(θ)=log(2/(1+θ))θ<1

fX(x|θ)=exp(θlog(|x|+1)log(21+θ))=1+θ2(1+|x|)θ.

Figure

Graphen von ist gezeigt für θ = - 3 / 2 , -fX( |θ)θ=3/2,2,3 (in Blau, Rot und Gold, jeweils).

Offensichtlich existieren die absoluten Momente der Gewichte oder größer nicht, weil der Integrand | x | α f X ( x | θ ) , das asymptotisch proportional zu | ist x | α + θ erzeugt genau dann ein konvergentes Integral an den Grenzen ± ∞, wenn α + θ < - 1 ist . Insbesondere wenn - 2 θ < - 1 ist ,α=1θ|x|αfX(x|θ)|x|α+θ±α+θ<12θ<1, Diese Verteilung hat nicht einmal einen Mittelwert (und schon gar keine Varianz).

whuber
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Ich verstehe die Bedingung . Meinst du θ > - 1 ? Wenn θ < - 1 ist , ist A ( θ ) nicht definiert und f X ( x | θ ) ist negativ und kann kein PDF sein. Bitte lassen Sie mich wissen, was ich verpasst habe. Vielen Dank. θ<1θ>1θ<1A(θ)fX(x|θ)
Wei
Aθ<1.
whuber
|x|x2<θ<1 in your example above, does E(x) exist?
Wei
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Because the Lebesgue integral is defined in terms of the positive and negative parts of the integrand, the moments of x exist if and only if the moments of |x| exist.
whuber
@Wei: E{g(X)} exists only if E{|g(X)|}<. Without this restriction,the expectation is not uniquely defined for some CDFs.
Dennis