Verteilung von Extremwerten

12

Wenn ein Artikel der Normalverteilung folgt, folgt der Durchschnitt auch der Normalverteilung. Was ist mit Minimum und Maximum?

user4211
quelle
Vielleicht möchten Sie in dieses Buch schauen .
mpiktas
1
@ user4211, fragen Sie nach der Verteilung des Minimums und Maximums einer Probenverteilung oder nur nach der Normalverteilung?
mpiktas

Antworten:

13

Sie sollten sich die Bestellstatistik ansehen . Hier ist eine sehr kurze Übersicht.

Es sei eine Stichprobe der Größe die aus einer Population mit der Verteilungsfunktion und der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion . Definiere , wobei bezeichnet die Statistik ter Ordnung der Stichprobe , dh ihren -kleinsten Wert. n F f Y 1 = X ( 1 ) , , Y r = X ( r ) , , Y n = X ( n ) X ( r ) r X 1 , X n rX1,XnnFfY1=X(1),,Yr=X(r),,Yn=X(n)X(r)rX1,Xnr

Es kann gezeigt werden, dass die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion von istY1,,Yn

y 1 < y 2 < < y n 0fX(1),,X(n)(y1,,yn)=n!i=1nf(yi) wenn und andernfalls .y1<y2<<yn0

Durch die Integration der vorherigen Gleichung erhalten wir

fX(r)(x)=n!(r1)!(nr)!f(x)(F(x))r1(1F(x))nr

Insbesondere für das Minimum und das Maximum haben wir jeweils

fX(1)(x)=nf(x)(1F(x))n1

fX(n)(x)=nf(x)(F(x))n1

Ocram
quelle
+1, ich habe einen kleinen Fehler in der vorletzten Formel bearbeitet.
mpiktas
Danke Ocram, die Antwort ist beeindruckend, also habe ich sie als gute Antwort markiert, aber jetzt kannst du es in einfachem Englisch machen, danke :) Übrigens, wie setzt du Gleichung in Stackexchnage?
User4211
Was genau meinst du? Sie haben nach den PDFs des Minimums und des Maximums gefragt, und diese beiden sind durch und . Wenn Sie also viele, viele Stichproben ziehen und die min für jede berechnen, erhalten Sie eine Zufallsvariable mit pdf . Ist es o.k? fX(1)fX(n)fX(1)
Ocram
5

Vielleicht möchten Sie auch die GEV-Verteilung (Generalized Extreme Value) nachlesen . Es zeigt sich, dass mit die (verschobene und skalierte) Verteilung des Maximalwertes der Stichprobe gegen einen der drei Sonderfälle der GEV-Verteilung konvergiert.n

Aniko
quelle
Großer Link wird es lesen
user4211
1

Die Summe der Gaußschen ist Gaußsch. Deshalb ist der Durchschnitt normal. Die Verteilung einer nichtlinearen Funktion von (endlich vielen) Gaußschen muss nicht Gaußsch sein und ist es normalerweise auch nicht. Dies ist der Fall bei der Maximalfunktion. Um das Maximum eines multivariaten Gaußschen zu erreichen, ist Hothorn ein guter Ausgangspunkt.

JohnRos
quelle
sehr interessant wird hothorn
user4211