KBN vs K Schachmatt auf Nicht-Standard-Boards

Ich weiß, wie man das Endspiel mit Bischof und Ritter gewinnt, aber es ist ein schlüpfriger Prozess und scheint gerade noch ein Gewinn zu sein, da der feindliche König fast entkommen ist. Aus diesem Grund bin ich gespannt auf das Endspiel auf anderen Boardgrößen und ob es im allgemeinen Fall eines MxN-Boards noch möglich sein wird. Beispielsweise:

• Gibt es einen erzwungenen Gewinn auf einem 10x10-Brett?
• Gibt es einen erzwungenen Gewinn auf einem 7x7-Brett mit einem Bischof der „falschen“ Farbe? (dh ein Bischof, der die Eckfelder nicht angreifen kann)

Angenommen, die 50-Bewegungsregel gilt nicht.

Eigentlich ist der Bischof und Ritterkamerad nicht so glatt, wie es scheint. Ich habe dies in einem von mir geschriebenen TableBase-Programm überprüft. Auf einem 10x10-Brett kann die Seite mit dem Bischof und dem Ritter (sagen wir weiß) höchstens 47 Züge zwingen, sich zu paaren. Weiß kann auf einem 16x16-Brett sogar einen Partner zwingen, und zwar in höchstens 93 Zügen. Ich glaube, Kumpel kann auf ein beliebig großes gerades Brett gezwungen werden.

Erstens habe ich auf einem Brett mit einer ungeraden Größe bestätigt, dass Weiß die Paarung nicht erzwingen kann, wenn der Bischof die falsche Farbe hat. Partner kann nur in einer guten Ecke gezwungen werden (eine, die der Bischof kontrolliert). Wenn es also keine guten Ecken gibt, kann Partner nicht gezwungen werden.

Auf dem 10x10 Board ist das Folgende ein optimaler Partner in 47. Die Startposition ist W: Ka1, Nb1, Bc1; B: Kc2. 1.Bb2 Kb3 2.Ba3 Kc2 3.Ka2 Kd3 4.Kb3 Ke4 5.Kc4 Ke5 6.Bg9 Kf4 7.Kd5 Kf5 8.Be7 Kf4 9.Ke6 Kg4 10.Ke5 Kf3 11.Kf5 Kg2 12.Kg4 Kf2 13. Kf4 Kg2 14.Sd2 Kh1 15.Kg3 Ki2 16.Sf3 Ki1 17.Kh3 Kh1 18.Lf6 Ki1 19.Nh2 Kh1 20.Lj2 Kg1 21.Lg4 Kf1 22.Kg3 Ke2 23.Lf2 Kd2 24.Lf6 Ke3 25.Lg7 Kd2 26.Kf4 Kc2 27.Ke4 Kd2 28.Bd4 Ke1 29.Nh1 Kf1 30.Kf3 Ke1 31.Be3 Kd1 32.Ke4 Kc2 33.Kd4 Kd1 34.Kd3 Ke1 35.Ng3 Kd1 36.Bc5 Ke1 37.Bd4 Kd1 38. Bc3 Kc1 39. Sf5 Kd1 40. Sf3 Kc1 41. Sf4 Kb1 42. Sf3 Kc1 43. Sf1 Kb1 44. Sf2 Ka1 45. Sf2 + Kb1 46. Sf3 + Ka1 47. Sf3 #

Nach dem 23. Sf2 haben wir eine Position wie in Andrews Antwort (aber auf dem Kopf stehend: W: Kg3, Bj2, Sf2; B: Ke2). Wenn wir dieses Brett 8x8 machen, indem wir die Spalten a und b (und die Zeilen 9 und 10) entfernen, wird es in 14 gepaart, aber hier ist es in 25 gepaart. In der optimalen Zeile oben versucht der schwarze König nie wirklich zu fliehen die a10 ecke. Sagen wir, er tut es mit 23. ... Kd2 24. Lf6 Kc2 . Dieser Zug verkürzt den Partner um einen Zug, mit der Fortsetzung 25.Kf3 Kb3 26.Ke4 Ka4 27.Kd5 Kb5 28.Ld4 Ka4 29.Kc4 Ka5 30.Kc5 Ka6 31.Kc6 .

Der schwarze König kann nur bis a6 entkommen und ist letztendlich immer noch in der guten a1-Ecke gefangen. Der Rest dieser Fortsetzung ist 31. ... Ka5 32.Td3 Ka4 33.Kc5 Ka5 34.Tb4 Ka4 35.Kc4 Ka5 36.Be3 Ka4 37.Bb6 Ka3 38.Td3 Ka4 39.Tb2 Ka3 40.Kc3 Ka2 41. Kc2 Ka3 42.Ba5 Ka2 43.Bb4 Ka1 44.Sd3 + Ka2 45.Sc1 + Ka1 46.Sc3 #

Hier ist die Anzahl der Moves, die erforderlich sind, um die Paarung auf jedem geraden Brett von 4 bis 16 zu erzwingen. 4: 15; 6: 22; 8: 33; 10: 47; 12: 64; 14: 78; 16: 93. Beachten Sie, dass auf einem Brett jeder Größe eine Handvoll Positionen gezogen werden, da Schwarz sofort eine Figur gewinnen kann.

Das Folgende ist ein optimaler Partner in 92 auf einem 16x16-Board. Die Startposition ist wieder W: Ka1, Nb1, Bc1; B: Kc2.1.Bb2 Kb3 2.Bi9 Ka4 3.Kb2 Kb5 4.Kc3 Kc6 5.Kd4 Kd7 6.Ke5 Ke8 7.Kf6 Kf8 8.Kg6 Kg8 9.Bg11 Kf9 10.Kh7 Ke10 11.Kg8 Kf11 12.Bi9 Ke10 13. Kh9 Kd11 14.Kg10 Ke10 15.Kg11 Kd9 16.Kf9 Kc10 17.Ke10 Kc11 18.Ke11 Kc12 19.Nd2 Kd13 20.Ne4 Ke14 21.Nf6 Kf13 22.Kf11 Ke14 23.Ke12 Kd15 24.Kd13 Ke16 25.Ke14 Kd16 26.Sd7 Kc16 27.Sd9 Kb15 28.Sd15 Kb14 29.Sd10 + Kb15 30.Sd11 Ka16 31.Sd13 Kb16 32.Sd16 Ka15 33.Sd15 Ka16 34.Sd16 Ka15 35.Sd12 + Ka16 36.Sd14 Ka15 37.Sd13 Ka14 38. Nc11 Ka13 39.Bc13 Ka14 40.Bc15 Ka13 41.Kc14 Ka14 42.Bd12 Ka13 43.Na10 Ka12 44.Kc13 Kb11 45.Nb12 Ka12 46.Kc12 Ka13 47.Be11 Ka12 48.Bf12 Ka13 49.Bc15 Ka12 50.Nd11 Ka11 51.Bf12 Ka12 52.Nc13 Ka11 53.Kc11 Ka10 54.Nd11 Ka9 55.Nb10 Kb9 56.Kb11 Ka9 57.Kc10 Ka10 58.Bg13 Ka11 59.Be15 Ka10 60.Nd9 Ka9 61.Bh12 Ka10 62.Nc11 + Ka9 63. Kc9 Ka8 64.Ld9 Kb7 65.Ld8 Ka7 66.Ld8 Ka8 67.Bg11 Ka9 68.Be13 + Ka8 69.Ld7 Ka7 70.Bh10 Ka8 71.Lc9 Ka7 72.Lc7 Ka6 73.Lc6 Ka7 74.Lc6 Ka6 75.Lc5 Ka5 76.Lc8 Ka4 77.Lc5 Kb3 78.Lc4 Kc2 79.Lc4 Kb3 80.Lc5 Ka2 81.Lc4 Kb1 82.Lc3 Kc1 83.Td6 Kd1 84.Td3 Kc1 85.Td4 Kd1 86.Ba5 Kc1 87.Bd2 Kb1 88.Td3 Ka2 89.Td2 Ka1 90.Td3 Kb1 91.Td3 + Ka1 92.Bc3 #

Es ist lang, aber das Durchspielen hat mir definitiv geholfen, mich davon zu überzeugen, dass Weiß ein beliebig großes Brett zwingen könnte, sich zu paaren. In der ersten Phase können der weiße König und der Bischof den schwarzen König austauschen, während sie Tempi kaufen, damit der weiße Ritter aufholt. Sobald der schwarze König in der schlechten Ecke (in diesem Fall a16) gefangen ist, wird er in der a-Akte mit sehr wenig Atempause hinuntergemischt. Obwohl der Vorgang wesentlich komplizierter ist als ein W-Manöver, scheint Weiß immer die vollständige Kontrolle zu haben.

Beginnen wir mit der 7x7-Frage:

Gibt es einen erzwungenen Gewinn auf einem 7x7-Brett mit einem Bischof der „falschen“ Farbe?

Dies scheint die einfachere der beiden Fragen zu sein. Überzeugen Sie sich zunächst davon, dass dies das einzige Paarungsmuster ist (der schwarze König könnte sich auch unmittelbar links von ihm auf dem dunklen Quadrat befinden):

Entscheidend ist, dass Weiß diese Position nicht erzwingen kann. Blacks König wäre im vorigen Zug in eine Pattsituation geraten. Wenn alternativ der König von Schwarz ein Feld nach links bewegt wird, wäre der einzige erlaubte Zug, den Weiß gerade gespielt haben könnte, den Läufer auf diese Diagonale zu bewegen und Gefährten zu liefern. Wenn dies der Fall war, wo war der schwarze König vorher? Es wäre auf f2 gewesen (zwei nach links, eins nach oben). Schwarz war also nicht gezwungen, in die Ecke zu gehen, sondern hätte dem Gefährten ausweichen können. Zusammenfassend lässt sich sagen, dass es keine Möglichkeit gibt, einen Partner in der falschen Ecke zu zwingen. Eine Verkürzung des Bretts ändert nichts an dieser Tatsache.

Nun die erste Frage:

Gibt es einen erzwungenen Gewinn auf einem 10x10-Brett?

In diesem Fall weiß wird eine richtige Ecke, aber nehmen wir an , dass weiß der schwarze König in die falsche Ecke zwingen kann. Auf dem Standard-8x8-Brett muss Weiß den König für ein paar Züge von der Seite befreien, um den König in die Paarungsecke zu treiben ( eine vollständige Anleitung finden Sie in Wikipedia ). Hier ist die normale Position, wenn Schwarz (vorübergehend) von der Kante abweicht:

Schwarz spielt normalerweise ...Kc6und nachdem Bd3!der König kein Entrinnen hat. Auf einem 10x10-Brett könnte jedoch Schwarz ...Kb7gefolgt von ...Ka7und schließlich spielen ...Kz6(nennen wir die erste Datei links "z"). Weiß hat keine Möglichkeit, den König und den Ritter dazu zu bringen, den schwarzen König daran zu hindern, der Bindung zu entkommen. Es ist also auch gut, dass das Brett nur 8x8 groß ist, sonst könnten der Bischof und der Ritter den König niemals paaren!

_{Haftungsausschluss: Ich habe keine meiner Behauptungen mit Tablebases bewiesen}

Offensichtlich gibt es viele erzwungene Siege auf Brettern, bei denen M und N mindestens 8 sind (einschließlich M oder N oder beide unendlich), solange es eine Ecke mit der gleichen Farbe wie das Bischofsquadrat gibt.

Befinden sich die Figuren alle im gelb getönten Subboard und kann sich der schwarze König dem d10-j4-j10-Dreieck nicht entziehen, wird die Position auch auf dem Vollboard gewonnen, da solche Positionen auf diesem Subboard (optimal) gewonnen werden können. Brett, ohne den schwarzen König aus dem Dreieck entkommen zu lassen. Ähnliches gilt für die grüne Unterplatine. Gleiches gilt für eine MxN-Karte.

Die gewonnenen Positionen sind jedoch keineswegs auf solche Positionen beschränkt. In der gezeigten Position kann zum Beispiel Weiß höchstens 33 Züge gegen eine schwarze Verteidigung ausführen. Natürlich gibt es einen signifikanten Prozentsatz ähnlicher Positionen.

Es gibt nicht unbedingt erzwungene Siege, wenn M und / oder N zu klein sind. Zum Beispiel gibt es keine Schachmattpositionen auf einer 1xN-Karte.

Streng genommen gibt es auch eine relativ kleine Anzahl von erzwungenen Siegen auf (ausreichend großen, dh M, N> 2, M + N> 6) Brettern, die keine Ecke mit der gleichen Farbe wie das Bischofsquadrat enthalten, aber eine Ecke des gegenüberliegende Farbe. Dies schließt das 7x7-Board mit "falschen" Ecken ein, nach denen Sie fragen. Dies ist auch in einer "falschen" Ecke einer Tafel möglich, die eine solche Ecke enthält. ZB auf einem 8x8 Brett:

1.Lg6 + Kg8 2.Lg5 #

Es gibt keine Siege auf einem Brett, das keine Ecken enthält, dh wenn sich eine oder beide Seiten auf unbestimmte Zeit in beide Richtungen erstrecken.

Es gibt gezogene Positionen auf jeder Tafelgröße (dies ist der allgemeine Fall auf Tafeln, die keine Ecke in der gleichen Farbe wie das Bischofsquadrat haben, und auf Tafeln, bei denen eines oder beide von M und N zu klein sind, und, glaube ich, auf Tafeln wo M und N beide groß sind), ein Beispiel auf einer 8x8 Karte:

1 ... Kf3 usw.

Gezeichnete Positionen sind die Ausnahme auf der Standardplatine (weniger als 10% aller Positionen gemäß Nalimov EGTB).

Aber ich glaube, dass es auf einem 10x10-Brett auch Ziehungen durch Wiederholung gibt, bei denen der Einzelkönig die Eroberung einer Figur nicht erzwingen kann, aber die Seite mit den Figuren auch nicht die Paarung erzwingen kann. Ich denke, dies wird der allgemeine Fall für große M und N, wie es offensichtlich für ungerade M und N mit dem "falschen" farbigen Läufer ist.

Solange das Brett eine Ecke der gleichen Farbe wie das Läuferquadrat enthält und M oder N bei 8 oder weniger bleibt (aber nicht zu klein ist), wird der Partner im Allgemeinen für endlich große Werte des anderen und (etwas irrelevant) immer noch gezwungen sein. in so vielen Positionen wie nicht für einen unendlichen Wert des anderen.

Bearbeiten:

Nachdem ich DanStrongers Post gelesen habe, denke ich, dass meine Kommentare zu Ziehungen durch Wiederholung auf größeren Brettern falsch sind. Diese basieren auf einer 45 Jahre alten Analyse, die ich gemacht habe, als ich das erste Mal lernte, das Ende zu spielen (dessen Details jetzt verschwommen sind), aber ich bin geneigt zu glauben, dass die Analyse fehlerhaft war. In diesem Fall sollte der Prozentsatz der Ziehungen mit zunehmender Brettgröße tatsächlich abnehmen.

Ich denke, der größte Unterschied, den wir hier machen können, ist, wie viele Schritte erforderlich sind, um den König zu paaren. Es gibt viele Hinweise darüber, die beweisen, dass es möglich ist, sich auf einem fast unendlich wachsenden Brett zu paaren (vorausgesetzt, es bleibt ein Quadrat und kein Rechteck (ich habe keine Ahnung)) Spiele. Es ist möglich, mit diesem Szenario auf einem 8x8-Brett innerhalb der Grenzen von 50 Zügen, aber mit wenig Raum für Fehler, fertig zu werden. Je größer das Brett ist, desto mehr Platz muss der König in die Ecke geschoben werden, was zu mehr als 90 Bewegungskameraden führt.

Zusammenfassend lässt sich sagen: Solange das Brett quadratisch ist (Länge = Breite), ist ein KBN vs K-Partner erreichbar. Ich kann nicht antworten, wenn das Brett rechteckig ist, jemand anderes kann das beantworten, wenn er möchte, oder Sie könnten Ihre Frage bearbeiten!