Was bedeuten die Gewichte in einer CES-Produktionsfunktion?

In verschiedenen Arbeiten stoße ich auf zwei Arten von CES-Produktionsfunktionen

$y=\left[\left(1-\omega \right) x_{1}^{\frac{\sigma -1}{\sigma}}+ \omega x_{2}^{\frac{\sigma -1}{\sigma}} \right]^{\frac{\sigma}{\sigma -1}}$

oder

$y=\left[\left(1-\omega \right)^{\frac{1}{\sigma}} x_{1}^{\frac{\sigma -1}{\sigma}}+ \omega^{\frac{1}{\sigma}} x_{2}^{\frac{\sigma -1}{\sigma}} \right]^{\frac{\sigma}{\sigma -1}}$

Der einzige Unterschied sind die Exponenten der Gewichte.

Was ist der Unterschied in der Bedeutung und Interpretation der beiden Gewichte (auf einer intuitiven und einer theoretischen Ebene). Ist es wichtig, welche Version in einem Papier verwendet wird?

$(1-\omega)$$\omega$$\sigma=1$

$x_1$

$$\lambda_1 \equiv \frac{w_1x_1}{py}$$

$\frac{w_1}{p}$$x_1$

$x_1$$\frac{w_1}{p}$

$$\frac{\partial y}{\partial x_1} = (1-\omega)^{\frac{1}{\sigma}}\left(\frac{y}{x_1}\right)^{\frac{1}{\sigma}} = \frac{w_1}{p}$$

Wenn man die spätere Gleichheit mit der Definition des Faktoranteils kombiniert, erhält man das

$$\lambda_1 = (1-\omega)^{\frac{1}{\sigma}} \left(\frac{y}{x_1}\right)^{\frac{1-\sigma}{\sigma}}$$

$\sigma=1$

$$\lambda_1 = (1-\omega)$$

Äquivalent dazu

$$\lambda_2 = \omega$$

$\lambda_1 + \lambda_2 = 1$

$\sigma = 0$$(1-\omega)x_i^{\frac{\sigma-1}{\sigma}}$$\sigma \rightarrow 0$$x_i$$(1-\omega)^{\frac{1}{\sigma}}x_i^{\frac{\sigma-1}{\sigma}}$$0<\omega<1$

Wenn Sie also so allgemein wie möglich sein möchten, würde ich die erste Spezifikation empfehlen. Während die erste Spezifikation "sehr häufig" ist, ist die zweite nicht üblich, was eine weitere Begründung erfordern würde, warum Sie sie wählen. Wenn es keinen zusätzlichen Nutzen gibt, wird von Occam's Razor definitiv der erste bevorzugt.