Dünne Indifferenzkurven

Wenn ein Verbraucher dem Rationalitätsaxiom der Kontinuität folgt (dh keine Sprünge in seinen Präferenzen), werden die Indifferenzkurven einer Nutzfunktion als dünn bezeichnet.

Warum Kontinuität ( so dass ) dünne Indifferenzkurven?| z | ≥ y ∀ ϵ > $x \succeq y \Rightarrow \exists \space z=x+\epsilon$$|z|\ge y \space \forall \epsilon > 0$

Ich denke nicht, dass Kontinuität allein ausreicht, um dünne Indifferenzkurven zu garantieren.

Berücksichtigen Sie Präferenzen so, dass der Verbraucher für jedes und in der Auswahlmenge zwischen und gleichgültig ist . Dies scheint für jede Definition einer dicken Indifferenzkurve geeignet zu sein, da die gesamte Auswahlmenge auf einer einzelnen Indifferenzkurve liegt!y x $x$$y$$x$$y$

Diese Präferenzen erfüllen aber auch Ihre Definition von Kontinuität.

Es scheint also, dass Kontinuität nur dann dünne Indifferenzkurven impliziert, wenn sie mit einer anderen Annahme gepaart ist.

Zunächst denke ich, dass die Frage falsch gestellt ist. Denn wenn die Definition einer dünnen Indifferenzkurve so ist, dass die Kontinuität der Präferenzen eines Verbrauchers dünne Indifferenzkurven impliziert, dann impliziert Kontinuität sicherlich dünne Indifferenzkurven ... Dies beantwortet Ihre Frage.

Wenn wir jedoch eine geeignete Definition einer dünnen Indifferenzkurve vornehmen wollen, können wir zunächst sagen, dass eine dicke Indifferenzkurve ist, wobei ist Menge möglicher Bündel, und wobei Gleichgültigkeit bezeichnet, wann immer ein und ein so dass impliziert , wobei eine Epsilon-Nachbarschaft um ; und sagen , zweitens , dass ist eine dünneΔ ∼ q ' ∈ [ q ] ϵ > 0 p ∈ N ϵ ( q ' ) p ∼ q ' N ϵ ( q ' ) q ' [ q ] [ q

$$[q]=\{p\in\Delta|p\sim q\}$$ $\Delta$$\sim$$q'\in [q]$$\epsilon>0$$p\in N_{\epsilon}(q')$$p\sim q'$$N_{\epsilon}(q')$$q'$$[q]$Indifferenzkurve, wenn sie nicht dick ist. Umgangssprachlich bedeutet dies, dass es auf einer dicken Indifferenzkurve eine gewisse Erhebung gibt , auf einer dünnen Indifferenzkurve jedoch keine solche Erhebung.$[q]$

Im Wesentlichen ist das Obige eine kurze Darstellung eines geometrischen Ansatzes für den erwarteten Nutzen (Chatterjee & Krishna, 2006) . Unter Verwendung der obigen Definition einer dünnen Indifferenzkurve zeigen sie in Lemma 2.3, dass (i) Kontinuität und (ii) Unabhängigkeit dünne Indifferenzkurven implizieren (beachten Sie, dass sie nicht zeigen, dass Kontinuität allein dünne Indifferenzkurven impliziert; vgl. Ubiquitous 'Antwort) . Ihre Definition beruht auf den folgenden zwei topologischen Konzepten.

1. Die Annahme der Kontinuität. Alle Teilmengen und von , wobei offen sind; Denken Sie hier daran, dass eine offene Menge eine Menge ist, für die jeder Punkt eine Nachbarschaft in dieser Menge hat. Daher ähnelt dieser Begriff der Kontinuität Ihrem.$\{q|q\succ p\}$$\{q|p\succ q\}$$\Delta$$p\in \Delta$
2. Die Annahme der Unabhängigkeit. Für alle , und impliziert dies, dass dies ermöglicht eine gewisse schöne Algebra.$p,q,r\in\Delta$$p\succ q$$\lambda\in (0,1]$ $$\lambda p+(1-\lambda)r\succ \lambda q+(1-\lambda)r;$$

Was sie nun in Lemma 2.3 zeigen, ist im Wesentlichen, dass wenn Sie eine Indifferenzkurve und eine Epsilon-Nachbarschaft um , dann impliziert nicht, dass für beliebig kleine . Das heißt, wie klein auch immer, keine Epsilon-Nachbarschaft ist so, dass sie nur Bündel enthält, für die man zwischen diesen Bündeln und gleichgültig ist . Stattdessen enthält jede Epsilon-Nachbarschaft Punkte, die strikt vorgezogen werden .N ϵ ( q ' ) q ' ∈ [ q ] p ∈ N ϵ ( q ' ) p ∼ q ' ϵ > 0 q ' q $[q]$$N_{\epsilon}(q')$$q'\in [q]$$p\in N_{\epsilon}(q')$$p\sim q'$$\epsilon>0$$q'$$q'$

Für kontinuierliche Dienstprogrammfunktionen halte ich es für fruchtbar zu bemerken, dass ihr Bild in z. B. (Lebesgue) das Maß 0 hat (vgl. Wie man beweist, dass das Bild einer kontinuierlichen Kurve in hat Maß ? )R 2 0$\mathbb{R}^2$$\mathbb{R}^2$$0$