Warum wird das CRRA-Dienstprogramm im makroökonomischen DSGE-Modell häufig verwendet?

Wie der Titel schon sagt, warum wird das CRRA-Dienstprogramm im makroökonomischen DSGE-Modell häufig verwendet? Das heißt, die Form von

$$u(c_t) = \frac{c_t^{1-\sigma}}{1-\sigma}$$

Ich kann keinen theoretischen Hintergrund dazu finden ..... Schließlich besteht bei DSGE-Modellen oft kein Risiko.

Modelle auf der Ebene des dynamischen stochastischen allgemeinen Gleichgewichts müssen in der Lage sein, Realwirtschaften in einem akzeptablen Ausmaß zu replizieren. Eines der Merkmale der Realwirtschaft war eine relativ stabile Wachstumsrate (siehe auch diesen Beitrag ).$\dot x/x=\gamma$wobei der Punkt über einer Variablen die Ableitung in Bezug auf die Zeit bezeichnet.

Man möchte also ein Modell, das im eingeschwungenen Zustand eine konstante Wachstumsrate zulässt. Im deterministischen / zeitkontinuierlichen "repräsentativen Haushaltsmodell" der Benchmark nimmt die Euler-Gleichung die Form an

$$r = \rho - \left(\frac {u''(c)\cdot c}{u'(c)}\right)\cdot \frac {\dot c}{c}$$

Dies ist die optimale Regel für die Wachstumsrate des Verbrauchs. Die Rate der reinen Zeitpräferenz wird als konstant angenommen. Der Zinssatz hat seinen eigenen Weg, im stationären Zustand konstant zu werden. Um im Steady State ein konstantes Konsumwachstum zu erzielen, wollen wir den Begriff$\rho$$r$

$$\left(\frac {u''(c)\cdot c}{u'(c)}\right)$$ muss ebenfalls konstant sein. Die Dienstprogrammfunktion Constant Relative Risk Aversion (CRRA) erfüllt genau diese Anforderung:

$$u(c) = \frac {c^{1-\sigma}}{1-\sigma} \Rightarrow u'(c) = c^{-\sigma} \Rightarrow u''(c) = -\sigma c^{-\sigma-1}$$

Damit

$$\frac {u''(c)\cdot c}{u'(c)} = \frac {-\sigma c^{-\sigma-1} \cdot c}{c^{-\sigma}} = -\sigma$$ und die Euler-Gleichung wird

$$\frac {\dot c}{c} = (1/\sigma)\cdot (r-\rho)$$

Barro & Sala-i-Martin (2004, 2n ed.) Erweitern die erforderliche Form der Nutzfunktion, wenn auch die Wahl zwischen Freizeitarbeitern besteht (Kap. 9, S. 427-428).
Diese grundlegende Eigenschaft erstreckt sich auf den Fall der stochastischen / diskreten Zeit.

XXXX

Zum Vergleich: Wenn wir ein CARA- Formular (Constant Absolute Risk Aversion) angegeben hätten , hätten wir

$$u(c) = -\alpha^{-1}e^{-\alpha c} \Rightarrow u'(c) = e^{-\alpha c}\Rightarrow u''(c) = -\alpha e^{-\alpha c}$$ und die Euler-Gleichung würden werden

$$\dot c = (1/\alpha)\cdot (r-\rho)$$

iehere würden wir ein konstant gleichgewichtigen Wachstum im erhaltenen Niveau des Verbrauchs (und so ein abnehmenden Wachstumsrate ).