Wie kann ich die Produktionsfunktion von Leontief und Cobb-Douglas über die CES-Funktion beziehen?

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In den meisten Microeconomics-Lehrbüchern wird erwähnt, dass die Produktionsfunktion der konstanten Elastizität der Substitution (CES)

Q=γ[aKρ+(1a)Lρ]1ρ

(wobei die Substitutionselastizität ), hat sowohl die Leontief-Produktionsfunktion als auch die Cobb-Douglas-Funktion ihre Grenzen. Speziell,σ=11+ρ,ρ>1

limρQ=γmin{K,L}

und

limρ0Q=γKaL1a

Sie liefern jedoch niemals den mathematischen Beweis für diese Ergebnisse.

Kann jemand bitte diese Beweise vorlegen?

Darüber hinaus beinhaltet die obige CES-Funktion eine konstante Rückkehr zum Maßstab (Homogenität des ersten Grades), da der äußere Exponent 1/ρ . Wenn dies z. B. k/ρ wäre, wäre der Homogenitätsgrad k .

Wie werden die Grenzwerte beeinflusst, wenn k1 ?

Huseyin
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Dies scheint eine Hausaufgabe zu sein, bei der keine vorherigen Anstrengungen unternommen wurden, um sie zu lösen. Siehe: meta.economics.stackexchange.com/questions/24/…
FooBar
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Es ist sicherlich ein thematisches Thema, aber eine Frage von geringer Qualität . Auch wenn es keine Hausaufgabe von Huseyin ist, erwarten wir von Ihnen, dass Sie a) vorsichtig mit Ihrer Notation umgehen (Sie haben und ) und b) einige Gedanken und Methoden einbringen, mit denen Sie versucht haben, das Problem zu lösen. Wir sind hier, um Menschen zu helfen, die sich selbst helfen , und bieten keine professionellen Dienstleistungen pro bono an. pρp
Alecos Papadopoulos
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Mathematik verhält sich anders als der gesamte Rest des Stack-Exchange-Netzwerks. Nur auf math.se können Sie Probleme einreichen, die andere Personen ohne großen Aufwand lösen können. Bitte speichern Sie diese Art von Frage für math.se, nicht hier.
EnergyNumbers
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Wenn Sie "Ich muss beweisen" sagen, ohne einen Hinweis darauf zu haben, warum Sie es beweisen müssen, gehen die Leute davon aus, dass dies Hausaufgaben sind.
Steven Landsburg
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@Huseyin Nachdem die Frage erneut geöffnet und eine Antwort bereitgestellt wurde, können Sie Ihre Antwort nicht für das Cobb-Douglas-Limit veröffentlichen.
Alecos Papadopoulos

Antworten:

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Die Beweise, die ich vorlegen werde, basieren auf Techniken, die für die Tatsache relevant sind, dass die CES-Produktionsfunktion die Form eines verallgemeinerten gewichteten Mittels hat .
Dies wurde in der Originalarbeit verwendet, in der die CES-Funktion eingeführt wurde, Arrow, KJ, Chenery, HB, Minhas, BS & Solow, RM (1961). Kapitalarbeitersubstitution und wirtschaftliche Effizienz. Die Überprüfung der Wirtschaft und Statistik, 225-250.
Die dortigen Autoren verwiesen ihre Leser auf das Buch Hardy, GH, Littlewood, JE & Pólya, G. (1952). Ungleichungen , Kapitel .2

Wir betrachten den allgemeinen Fall

Qk=γ[aKρ+(1a)Lρ]kρ,k>0

γ1Qk=1[a(1/Kρ)+(1a)(1/Lρ)]kρ

1) Grenze, wenn ρ
Da wir an der Grenze, wenn interessiert sind, können wir das Intervall, für das ρ 0 ist , ignorieren und ρ als streng positiv behandeln.ρρ0ρ

Ohne Verlust der Allgemeinheit sei . Wir haben auch K , L > 0 . Dann überprüfen wir, dass die folgende Ungleichung gilt:KL(1/Kρ)(1/Lρ)K,L>0

(1a)k/ρ(1/Lk)γQ.k-1(1/Lk)

(1)(1a)k/ρ(1/Lk)[a(1/Kρ)+(1a)(1/Lρ)]kρ(1/Lk)

durch Anheben auf die Potenz zu bekommenρ/k

was angesichts der Annahmen in der Tat offensichtlich zutrifft. Kehren Sie dann zum ersten Element von(1)und zurück

(2)(1a)(1/Lρ)a(1/Kρ)+(1a)(1/Lρ)(1/Lρ)
(1)

limρ(1a)k/ρ(1/Lk)=(1/Lk)

welches den mittleren Term in bis ( 1 / L k ) einfügt , so(1)(1/Lk)

(3)limρQk=γ1/Lk=γLk=γ[min{K,L}]k

Für wir also die grundlegende Leontief-Produktionsfunktion.k=1

2) Grenze wenn ρ0
Schreibe die Funktion mit Exponential als

(4)γ1Qk=exp{kρln[a(Kρ)1+(1a)(Lρ)1]}

Betrachten Sie die Maclaurin-Expansion erster Ordnung (Taylor-Expansion bei Null zentriert) des Terms innerhalb des Logarithmus in Bezug auf :ρ

a(Kρ)1+(1a)(Lρ)1=a(K0)1+(1a)(L0)1a(K0)2K0ρlnK(1a)(L0)2L0ρlnL+O(ρ2)

=1ρalnKρ(1a)lnL+O(ρ2)=1+ρ[lnKaL(1a)]+O(ρ2)

Setzen Sie diesen zurück in und entfernen Sie das äußere Exponential,(4)

γ1Qk=(1+ρ[lnKaL(1a)]+O(ρ2))k/ρ

Wenn es undurchsichtig ist, definieren Sie und schreiben Sie neur1/ρ

γ1Qk=(1+[lnKaL(1a)]r+O(r2))kr

Jetzt sieht es aus wie ein Ausdruck, dessen Grenze im Unendlichen etwas Exponentielles ergibt:

limρ0γ1Qk=limrγ1Qk=(exp{lnKaL(1a)})k

limρ0Qk=γ(KaL1a)k

kk=1

a

Alecos Papadopoulos
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The regular method of obtaining Cobb-Douglas and Leotief is L'Hôpital's rule.

Another methods should be used too. Setting γ=1 will be return Q=[aKρ+(1a)Lρ]1ρ and

Qρ=[aKρ+(1a)Lρ]
By The total derivative via differentials we will have
ρQρ1dQ=aρKρ1dK(1a)ρLρ1dL
With some manupulations our main equation will be obtained.

dQ=a(QK)1+ρdK+(1a)(QL)1+ρdL

Linear Function : limρ1dQQ=aK+(1a)L

Cobb-Douglas Function :

limρ0dQ1QdQ=a(1K)dK+(1a)(1L)dL
Taking the Integral from both side would produce

1QdQ=a(1K)dK+(1a)(1L)dL

Q=KaL(1a)eC=AKaL(1a)

Leontief Function: limρdQmin(aK,(1a)L)

Huseyin
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(+1) I like especially how the Cobb-Douglas function is obtained.
Alecos Papadopoulos
Thanks @AlecosPapadopoulos. but I don't know why somebodies make dislike this post yet? I think this type of questions may provide brain storm at least to me.
Huseyin
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Genau genommen haben sie recht, Huseyin: Sie hätten zumindest einen Teil Ihrer Antwort in Ihre Frage einbeziehen sollen : "Hier ist meine Art, Dinge zu tun, gibt es eine andere Art?"
Alecos Papadopoulos
Is taking a differential and integrating "equivalent" to taking a limit? In general, can we take differential and integrate to find a limit? Or is this a special application?
PGupta