Wie kann ich die Produktionsfunktion von Leontief und Cobb-Douglas über die CES-Funktion beziehen?

In den meisten Microeconomics-Lehrbüchern wird erwähnt, dass die Produktionsfunktion der konstanten Elastizität der Substitution (CES)

$$Q=\gamma[a K^{-\rho} +(1-a) L^{-\rho} ]^{-\frac{1}{\rho}}$$

(wobei die Substitutionselastizität ), hat sowohl die Leontief-Produktionsfunktion als auch die Cobb-Douglas-Funktion ihre Grenzen. Speziell,$\sigma = \frac 1{1+\rho},\rho > -1$

$$\lim_{\rho\to \infty}Q= \gamma \min \left \{K , L\right\}$$

und

$$\lim_{\rho\to 0}Q= \gamma K^aL^{1-a}$$

Sie liefern jedoch niemals den mathematischen Beweis für diese Ergebnisse.

Kann jemand bitte diese Beweise vorlegen?

Darüber hinaus beinhaltet die obige CES-Funktion eine konstante Rückkehr zum Maßstab (Homogenität des ersten Grades), da der äußere Exponent $-1/\rho$ . Wenn dies z. B. $-k/\rho$ wäre, wäre der Homogenitätsgrad $k$ .

Wie werden die Grenzwerte beeinflusst, wenn $k\neq 1$ ?

Die Beweise, die ich vorlegen werde, basieren auf Techniken, die für die Tatsache relevant sind, dass die CES-Produktionsfunktion die Form eines verallgemeinerten gewichteten Mittels hat .
Dies wurde in der Originalarbeit verwendet, in der die CES-Funktion eingeführt wurde, Arrow, KJ, Chenery, HB, Minhas, BS & Solow, RM (1961). Kapitalarbeitersubstitution und wirtschaftliche Effizienz. Die Überprüfung der Wirtschaft und Statistik, 225-250.
Die dortigen Autoren verwiesen ihre Leser auf das Buch Hardy, GH, Littlewood, JE & Pólya, G. (1952). Ungleichungen , Kapitel .$2$

Wir betrachten den allgemeinen Fall

$$Q_k=\gamma[a K^{-\rho} +(1-a) L^{-\rho} ]^{-\frac{k}{\rho}},\;\; k>0$$

$$\Rightarrow \gamma^{-1}Q_k = \frac 1{[a (1/K^{\rho}) +(1-a) (1/L^{\rho}) ]^{\frac{k}{\rho}}}$$

1) Grenze, wenn $\rho \rightarrow \infty$
Da wir an der Grenze, wenn interessiert sind, können wir das Intervall, für das ρ ≤ 0 ist , ignorieren und ρ als streng positiv behandeln.$\rho\rightarrow \infty$$\rho \leq0$$\rho$

Ohne Verlust der Allgemeinheit sei . Wir haben auch K , L > 0 . Dann überprüfen wir, dass die folgende Ungleichung gilt:$K\geq L \Rightarrow (1/K^{\rho})\leq (1/L^{\rho})$$K, L >0$

$$(1-a)^{k/\rho}(1/L^{k})\leq \gamma Q_k^{-1} \leq (1/L^{k})$$

$$\implies (1-a)^{k/\rho}(1/L^{k})\leq [a (1/K^{\rho}) +(1-a) (1/L^{\rho}) ]^{\frac{k}{\rho}} \leq (1/L^{k}) \tag{1}$$

durch Anheben auf die Potenz zu bekommen$\rho/k$

was angesichts der Annahmen in der Tat offensichtlich zutrifft. Kehren Sie dann zum ersten Element von(1)und zurück

$$(1-a)(1/L^{\rho}) \leq a (1/K^{\rho}) +(1-a) (1/L^{\rho}) \leq (1/L^{\rho}) \tag {2}$$ $(1)$

$$\lim_{\rho\rightarrow \infty} (1-a)^{k/\rho}(1/L^{k}) =(1/L^{k})$$

welches den mittleren Term in bis ( 1 / L k ) einfügt , so$(1)$$(1/L^{k})$

$$\lim_{\rho\rightarrow \infty}Q_k = \frac {\gamma }{1/L^k} = \gamma L^k = {\gamma }\big[\min\{K,L\}\big]^{k} \tag{3}$$

Für wir also die grundlegende Leontief-Produktionsfunktion.$k=1$

2) Grenze wenn $\rho \rightarrow 0$
Schreibe die Funktion mit Exponential als

$$\gamma^{-1}Q_k=\exp\left\{-\frac k{\rho}\cdot \ln\big[a (K^{\rho})^{-1} +(1-a) (L^{\rho})^{-1}\big]\right\} \tag {4}$$

Betrachten Sie die Maclaurin-Expansion erster Ordnung (Taylor-Expansion bei Null zentriert) des Terms innerhalb des Logarithmus in Bezug auf :$\rho$

$$a (K^{\rho})^{-1} +(1-a) (L^{\rho})^{-1} \\= a (K^{0})^{-1} +(1-a) (L^{0})^{-1} -a (K^{0})^{-2}K^{0}\rho\ln K- (1-a) (L^{0})^{-2}L^{0}\rho\ln L + O(\rho^2) \\$$

$$=1 - \rho a\ln K - \rho(1-a)\ln L+ O(\rho^2) = 1 +\rho \big[\ln K^{-a}L^{-(1-a)}\big]+ O(\rho^2)$$

Setzen Sie diesen zurück in und entfernen Sie das äußere Exponential,$(4)$

$$\gamma^{-1}Q_k = \left(1 +\rho \big[\ln K^{-a}L^{-(1-a)}\big]+ O(\rho^{2})\right)^{-k/\rho}$$

Wenn es undurchsichtig ist, definieren Sie und schreiben Sie neu$r\equiv 1/\rho$

$$\gamma^{-1}Q_k = \left(1 +\frac{\big[\ln K^{-a}L^{-(1-a)}\big]}{r}+ O(r^{-2})\right)^{-kr}$$

Jetzt sieht es aus wie ein Ausdruck, dessen Grenze im Unendlichen etwas Exponentielles ergibt:

$$\lim_{\rho\rightarrow 0}\gamma^{-1}Q_k = \lim_{r\rightarrow \infty}\gamma^{-1}Q_k = \left(\exp\left\{ \ln K^{-a}L^{-(1-a)}\right\} \right)^{-k}$$

$$\Rightarrow \lim_{\rho\rightarrow 0}Q_k =\gamma\left(K^{a}L^{1-a}\right)^k$$

$k$$k=1$

$a$

The regular method of obtaining Cobb-Douglas and Leotief is L'Hôpital's rule.

Another methods should be used too. Setting $\gamma=1$ will be return $Q=[a K^{-\rho} +(1-a) L^{-\rho} ]^{-\frac{1}{\rho}}$ and

$$Q^{-\rho}=[a K^{-\rho} +(1-a) L^{-\rho} ]$$ By The total derivative via differentials we will have $$-\rho Q^{-\rho-1}dQ=- a\rho K^{-\rho-1}dK -(1-a)\rho L^{-\rho-1}dL$$ With some manupulations our main equation will be obtained.

$$dQ= a {(\frac{Q}{ K})}^{1+\rho}dK +(1-a){(\frac{Q}{ L})}^{1+\rho}dL$$

Linear Function : $\lim_{\rho\to -1}{dQ}\Rightarrow Q=aK+(1-a)L$

Cobb-Douglas Function :

$$\lim_{\rho\to 0}{dQ}\Rightarrow \frac{1}{Q}dQ= a {(\frac{1}{ K})} dK +(1-a){(\frac{1}{ L})} dL$$ Taking the Integral from both side would produce

$$\int\frac{1}{Q}dQ= a \int {(\frac{1}{ K})} dK +(1-a)\int{(\frac{1}{ L})} dL$$

$$Q=K^a L^{(1-a)}e^{C}=AK^a L^{(1-a)}$$

Leontief Function: $\lim_{\rho\to \infty}{dQ}\Rightarrow min(aK,(1-a)L)$