Schließen Sie Märkte in ununterbrochener Zeit ab

In den diskreten Standardzeitwirtschaften mit einer begrenzten Anzahl von Staaten, , ist eine vollständige Marktwirtschaft einfach eine Wirtschaft mit unabhängigen Vermögenswerten (Think Ljunqvist und Sargent, Kapitel 8). Dies liegt daran, dass unabhängige Assets ausreichen, um die Menge der Zustände von morgen zu überspannen.n $n$$n$$n$

Ich hatte letzte Woche eine Diskussion mit einem Professor, in der er erklärte, dass einer der Vorteile einer kontinuierlichen Zeit, wenn man über die Preisfestsetzung von Vermögenswerten nachdenkt, darin besteht, dass man in einer kontinuierlichen Zeitwirtschaft vollständige Märkte einfach mit einer risikofreien Anleihe und einem riskanten Vermögenswert erhalten kann ( unabhängig) für jede Brownsche Bewegung in der Wirtschaft.

Er erklärte es, als wir uns unterhielten, also denke ich, dass ich es größtenteils verstehe, aber fragte mich, ob es jemandem etwas ausmachen würde, die Details aufzuschreiben?

Ich werde wahrscheinlich ein oder zwei Tage in dieser Woche damit verbringen (abhängig von einigen Eigenschaften der Differentialrechnung). Wenn also niemand die Frage beantwortet, kann ich hoffentlich eine zufriedenstellende Antwort geben.

Ich bin die letzte Person, die solche ständigen Zeitfragen beantworten sollte, aber wenn es sonst niemanden gibt, werde ich es versuchen. (Jegliche Korrektur meiner schlecht erinnerten ununterbrochenen Finanzierung ist sehr willkommen.)

Mein Eindruck war schon immer, dass dies am besten als Konsequenz des Martingal-Repräsentationssatzes interpretiert werden kann . Zunächst werde ich jedoch eine lockere Notation erstellen. Der Wahrscheinlichkeitsraum sei durch die unabhängigen Wiener-Prozesse . Es gebe Assets, wobei der Wert des ten Assets bei durch . Angenommen, der Vermögenswert ist eine risikofreie Anleihe , während der Vermögenswert jeweils risikobehaftet sind und vom entsprechenden : ( Z 1 t , ... , Z n t ) n + 1 i t S i t i = 0 d S 0 t = r t S 0 t d t i = 1 , ... , n Z i t d S i t = μ i t d t + σ i t d $n$$(Z_t^1,\ldots,Z_t^n)$$n+1$$i$$t$$S_t^i$$i=0$$dS_t^0=r_tS_t^0dt$$i=1,\ldots,n$$Z_t^i$ mtm0=1mtS i t idmt=νtdt+ψt⋅dZt

$$dS_t^i=\mu_t^idt+\sigma_t^idZ_t^i$$ Angenommen, es gibt einen streng positiven SDF-Prozess auf normalisiert ist , so dass ein Martingal für jedes (im Grunde genommen die Definition von SDF) und wobei (ich verwende als das Punktprodukt, das bequem sein wird.)$m_t$$m_0=1$$m_tS_t^i$$i$ $$dm_t=\nu_t dt+\psi_t\cdot dZ_t$$ $\cdot$

Schließlich sei der dimensionale Vektor unser Portfolio zum Zeitpunkt , so dass der Nettowert durch . Angenommen, ist fest und Nun werde ich das Ziel , das die Essenz vollständiger Märkte einfängt. Angenommen, die Welt endet zum Zeitpunkt , und wir möchten, dass der Nettowert einem bestimmten stochastischen , das von der gesamten Geschichte bis zum Zeitpunkt abhängen kann . Angenommen, , so dass wir in einer Welt mit vollständigen Märkten (atθ t t A t A t = θ t ⋅ S t A 0 d A t = θ t ⋅ d S T T A T Y T A 0 = E 0 [ m T Y ] t = 0 A 0 t = T Y θ t A T = $n+1$$\theta_t$$t$$A_t$$A_t=\theta_t\cdot S_t$$A_0$

$$dA_t=\theta_t\cdot dS_t$$ $T$$A_T$$Y$$T$$A_0=E_0[m_TY]$$t=0$ ) Verwenden Sie unser ursprüngliches Vermögen , um die Zeit Auszahlung zu kaufen . In Ermangelung dieser direkten vollständigen Märkte stellt sich die Frage, ob es dennoch eine Strategie für das Portfolio , die es uns ermöglicht, in allen Staaten der Welt zu erhalten. Und in dieser Situation lautet die Antwort ja.$A_0$$t=T$$Y$ $\theta_t$$A_T=Y$

Erstens, kann man berechnen , . Wenn m t S t ein Martingal ist, bedeutet dies, dass m t A t ein Martingal ist. Wir haben also A T = Y ⟺ m T A T = m T Y wenn m t A t = E t [ m $d(m_tA_t)=\theta_t\cdot d(m_tS_t)$$m_tS_t$$m_tA_t$$A_T=Y\Longleftrightarrow m_TA_T=m_TY$ für alle t ∈ [ 0 , T ] . Es sei angemerkt, dass dies für t = 0 durch Annahmewahr ist; Um Gleichheit zu erreichen, muss nur bewiesen werden, dass die Inkremente auf beiden Seiten immer gleich sind.

$$m_tA_t=E_t[m_TY]$$ $t\in[0,T]$$t=0$

Nun ist die Martingale - Darstellungssatz kommt in. Da ein Martingal ist, können wir schreiben E t [ m T Y ] = E 0 [ m T Y ] + ∫ t 0 φ s ⋅ d Z s für einige vorhersagbaren Prozess φ s . Wir müssen also in der Lage sein, d ( m t A t ) = ϕ t ⋅ $E_t[m_TY]$

$$E_t[m_TY]=E_0[m_TY]+\int_0^t \phi_s\cdot dZ_s$$ $\phi_s$ . Schreiben von d ( m t A t ) = Σ i ( m t θ i t σ i t + A T ψ i t ) d Z i t sehen wirdass wir brauchen m t θ i t σ i t + A T ψ i t = ϕ i t für jeden riskanten Vermögenswert i = 1 $d(m_tA_t)=\phi_t\cdot dZ_t$ $$d(m_tA_t)=\sum_i (m_t\theta_t^i \sigma_t^i +A_t\psi_t^i)dZ_t^i$$ $m_t\theta_t^i\sigma_t^i +A_t\psi_t^i=\phi_t^i$ , die wir invertieren die benötigte Portfolio Wahl geben θ i t : θ i t = φ i t - A t ψ i $i=1,\ldots,n$$\theta_t^i$ Die risikolose Auswahl des Vermögensportfoliosθ 0 t kann dann vonAt=θt⋅St zurückgesetzt werden. $$\theta_t^i=\frac{\phi_t^i-A_t\psi_t^i}{m_t\sigma_t^i}$$ $\theta_t^0$$A_t=\theta_t\cdot S_t$

$A_t$$m_tA_t=E_t[m_TY]$$m_t$$dZ_t^i$$\theta_t$$dA_t$$dZ_t^i$$n$$n$

Ich habe vorgehabt, dies für eine lange Zeit zu veröffentlichen. Ich bin darauf gestoßen und dachte, es könnte etwas Einsicht bringen. Dieses Beispiel stammt aus "Financial Asset Pricing Theory" von Munk.

Betrachten Sie die folgende Abbildung. Wie viele Vermögenswerte brauchen wir, um einen vollständigen Markt zu haben?

$N$$N$

(i) Die Unsicherheit wird nicht sofort, sondern nach und nach vollständig aufgedeckt, und (ii) wir können dynamisch mit den Vermögenswerten handeln. In dem Beispiel gibt es drei mögliche Übergänge der Wirtschaft von Zeitpunkt 0 zu Zeitpunkt 1. Aus unserer Einperiodenanalyse wissen wir, dass drei ausreichend verschiedene Vermögenswerte ausreichen, um diese Unsicherheit zu überbrücken. Ab dem Zeitpunkt 1 bis zum Zeitpunkt 2 gibt es entweder zwei, drei oder einen möglichen Übergang der Wirtschaft, je nachdem, in welchem ​​Zustand sich die Wirtschaft zum Zeitpunkt 1 befindet. Wir benötigen höchstens drei ausreichend unterschiedliche Vermögenswerte, um die Unsicherheit über diesen Zeitraum hinweg zu überbrücken. Insgesamt können wir jeden Dividendenprozess generieren, wenn wir in beiden Perioden nur Zugang zu drei ausreichend unterschiedlichen Vermögenswerten haben.

Im Fall einer allgemeinen multinomialen Baumversion eines allgemeineren, zeitdiskreten Marktes mit endlichen Zuständen können wir für jeden Knoten im Baum die übergreifende Nummer als die Anzahl der Zweige des Teilbaums definieren, die diesen Knoten verlassen. Der Markt ist dann abgeschlossen, wenn für einen beliebigen Knoten im Baum die Anzahl der linear unabhängigen gehandelten Vermögenswerte in der folgenden Periode gleich der übergreifenden Anzahl ist.

Im Fall eines zeitkontinuierlichen Modells, bei dem die Unsicherheit durch eine d-dimensionale Standard-Brownsche Bewegung erzeugt wird, ist das Argument kompliziert, aber Munk gibt einige Einsichten, die auf der vorherigen Diskussion basieren.

Das Ergebnis ist angesichts der folgenden Beobachtungen recht intuitiv:

1. Für ständige Änderungen im Laufe eines Augenblicks sind nur Mittel und Abweichungen von Bedeutung.
2. $dz_i$$d+1$$dz_t$$dz_t$$dt$$\epsilon$$\sqrt{dt}$$1/2$$-\sqrt{dt}$$1/2$
3. Mit kontinuierlichem Handel können wir unser Engagement jederzeit an die exogenen Schocks anpassen.

$d+1$$d+1$