Verwendung von Mathematik und ungenaue Definition von Begriffen

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Als Doktorandin der Wirtschaftswissenschaften habe ich versucht, mein mathematisches "Toolset" zu erweitern. Dabei habe ich mit Ingenieuren, Physikern und Mathematikern gesprochen, von denen viele den Einsatz von Mathematik in der Wirtschaftswissenschaft verachtet haben. Ihre Argumente variieren, aber ein gemeinsames Thema wird von der Kritik des Mathematikers Michael Edesess zusammengefasst :

Wirtschaft gibt vor, Mathematik zu sein, aber es ist keine Mathematik. Es gibt einen großen Unterschied. Kein Mathematiker verwendet einen Term in einer Formel oder eine Aussage eines Theorems, es sei denn, dieser Term wurde zuvor mit grässlicher Präzision definiert.

Und während Ökonomen denken, sie hätten Begriffe wie "Gesamtnachfrage" oder "Wirtschaftswachstum" definiert, sollten sie versuchen, echte Mathematik zu lesen, um zu sehen, was eine genaue Definition wirklich ist. Ich denke, die Ökonomen lassen die Definitionsarbeit von der Art und Weise ableiten, in der die Begriffe in den Formeln verwendet werden.

Ich glaube, ich kenne die genaue Definition von (ziemlich vielen) wirtschaftlichen Begriffen, aber vielleicht weist Edesess auf einige tiefere mathematische Grundlagen hin, die mir vielleicht nicht vertraut sind. Könnte jemand seine Argumentation erweitern und vielleicht sogar widersprechen?

Han-Tyumi
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Viele Mathematiker, die zu Wirtschaftswissenschaftlern geworden sind, haben die Gesamtnachfrage angemessen definiert. Wirtschaftswachstum ist ein lose definierter Begriff, aber echte Wirtschaftswissenschaftler verwenden Wachstum nicht lose, sondern beziehen sich auf das Wachstum einiger wirtschaftlicher Variablen, und Wachstum ist ein einfacher Begriff. Auch Wirtschaftswissenschaftler wie Physiker, Biologen und andere machen keine Mathematik, um der Mathematik willen, also ist Wirtschaft keine Mathematik und wir tun nicht so, als ob es so wäre. Wir benutzen es, um ein echtes Phänomen zu verstehen. Was wir also tun, anstatt willkürliche mathematische Objekte zu definieren, interessiert uns, wie diese Definitionen und Beziehungen für die Wissenschaft verwendet werden.
user157623
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Dies scheint mir subjektiv, argumentativ, zu weit gefasst und daher in mehrfacher Hinsicht nicht zum Thema zu gehören. Hier ist ein Beispiel für eine gute Frage: "In so und so einem Artikel wird von so und so einem Autor der Begriff" foo "wiederholt verwendet, aber ich bin nicht in der Lage, eine genaue Definition zu finden. Hat dieser Begriff eine Standarddefinition, die Ich muss es wissen, bevor ich die Zeitung lese? "
Steven Landsburg
Die Kritik wird missverstanden. Es geht nicht nur um den Missbrauch mathematischer Definitionen. Es geht um Mathematik, die sich als Wirtschaft tarnt. Siehe meine Antwort unten.
Rusan Kax

Antworten:

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Edesess greift an, was eigentlich nur ein Strohmann der Wirtschaft ist. Ich bin mir nicht sicher, ob er das Feld wirklich versteht. Zu Beginn ist Wirtschaft keine Mathematik. Wir behaupten nicht, dass es ist. Es ist eher eine "angewandte" Wissenschaft. Ökonomen haben nie behauptet, dass diese Definitionen so präzise sind wie die Mathematik. Diese Definitionen sind Modellierungskonstrukte - sie sind für die angewandte Arbeit. Sie sind in gewisser Weise vorübergehend. Der Punkt ist, zu versuchen, eine Idee präziser zu vermitteln als nur in Worten - aber jeder weiß, dass sie nicht so präzise sind, wie wir es uns wünschen und nicht so präzise, ​​wie sie letztendlich sein sollten. Sie sollen diskutiert und später verfeinert werden. Aber wie alle angewandten Wissenschaftler wissen, muss man irgendwo anfangen und manchmal lassen sich Ideen am besten durch einfachere, wenn auch weniger detaillierte Mittelwerte vermitteln.

Bessere Definitionen zu finden, ist ein großer Teil der Wirtschaftswissenschaft. Betrachten Sie diese Beispiele. Als die Cowles Foundation 1932 gegründet wurde, lautete ihr Motto "Theorie und Messung" ( das Motto wurde erstmals 1952 übernommen ). Messen ist nicht einfach. Ein weiteres Beispiel ist Larry Kotlikoffs Arbeit, die sich mit der Frage befasste, dass viele fiskalische Maßnahmen keine wirtschaftlich gut definierten Konzepte sind.

Einstein lehrte uns, dass weder Zeit noch Distanz genau definierte physikalische Konzepte sind. Stattdessen ist ihre Messung relativ zu unserem Bezugsrahmen - wie schnell wir im Universum unterwegs waren und in welche Richtung. Unser physischer Bezugsrahmen kann als unsere Sprache oder Kennzeichnungskonvention angesehen werden. ... Kotlikoff lieferte zusammen mit Jerry Green von Harvard einen allgemeinen Beweis für die Behauptung, dass Defizite und eine Reihe anderer konventioneller finanzpolitischer Maßnahmen wirtschaftlich inhaltsfrei sind, und kam zu dem Schluss, dass das Defizit einfach eine willkürliche Erfindung der Sprache in allen ist Wirtschaftsmodelle mit rationalen Akteuren.

Nehmen Sie auch ein anderes Beispiel von aktuellem Interesse. Lars Hansens jüngste Arbeit (Gewinner des Wirtschaftsnobelpreises 2013) konzentrierte sich auf die Schwierigkeit und das anhaltende Versagen, bestimmte wirtschaftliche Konzepte zu definieren, einschließlich "Blasen" und Systemrisiken. Siehe seinen Aufsatz "Herausforderungen bei der Identifizierung und Messung des Systemrisikos" . Ich bin ein Fan des Diktums, das er Lord Kelvin zuschreibt.

Ich sage oft, wenn man etwas messen kann, über das man spricht, es in Zahlen ausdrücken kann, dann weiß man etwas darüber. aber wenn Sie es nicht messen können, wenn Sie es nicht in Zahlen ausdrücken können, ist Ihr Wissen von der mageren und unbefriedigenden Art: Es mag der Beginn des Wissens sein, aber Sie haben in Ihren Gedanken kaum Fortschritte auf der Stufe der Wissenschaft gemacht, was auch immer Materie könnte sein.

Er merkt an, dass "eine Kurzfassung im Gebäude für sozialwissenschaftliche Forschung an der Universität von Chicago erscheint". Also, ja, Ökonomen (als Sozialwissenschaftler) nehmen das definitiv ernst.

Der Punkt ist also, dass sich die Ökonomen der Probleme in diesen "Definitionen" bewusst sind. Sie sind Teil der laufenden Forschung auf diesem Gebiet. Manchmal werden sie ignoriert, wenn die Leute nicht glauben, dass sie für das Problem die erste Wahl sind. etc...

jmbejara
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Wirtschaft gibt vor, Mathematik zu sein, aber es ist keine Mathematik.

Gott bewahre, wenn du meine Sprache entschuldigst. Wie in vielen anderen wissenschaftlichen Disziplinen wird Mathematik in der Wirtschaftswissenschaft verwendet , aber es ist mit Sicherheit keine Mathematik, und es kann niemals Mathematik werden.

Die Mathematik kann sich von der realen Welt inspirieren lassen, definiert und arbeitet dann aber mit ihren Konzepten, unabhängig davon, ob sie mit der Quelle der Inspiration verbunden bleiben.
Auf der anderen Seite muss die Wirtschaft ihre Konzepte so definieren, dass ein gewisses Maß an Relevanz für die realistischen Aspekte, die sie zu untersuchen versucht, erhalten bleibt . Und da die "reale Welt", die die Wirtschaft beschäftigt, die soziale Welt ist, voller Unsicherheiten und Gesetze, die noch niemand entdeckt hat, kann die Wirtschaft niemals "unerträgliche Präzision" erreichen und relevant bleiben . Na und? Wirtschaft ist keine Mathematik, das haben wir schon gesagt. Wirtschaft ist schwierigerals die Mathematik, gerade weil sie sich eine solche Präzision nicht auferlegen und nützlich bleiben kann. Aber sie hält sich an die wissenschaftliche Methode und versucht, anstatt sich auf verbale Argumente zu beschränken, diese zu "mathematisieren" (dh symbolische Sprache zu verwenden), damit sie transparenter und fokussierter in Bezug auf ihre Schlussfolgerungen und ihre interne Konsistenz sind .

Es wäre so viel einfacher, verbale Abhandlungen zu erstellen, dass zuerst eine Runde der Semantikanalyse erforderlich wäre und dann, falls diese Runde irgendwann endet, das Argument per se zu diskutieren . Aber sobald wir es in symbolischer Sprache formuliert haben, räumen wir den Nebel auf und lassen unsere Räumlichkeiten (und damit unsere Grenzen und Unvollkommenheiten ) für alle Interessierten erstrahlen. Das nenne ich wissenschaftliche Integrität in den Sozialwissenschaften, und deshalb betrachte ich die Wirtschaft als Avantgarde der Sozialwissenschaften.

Alecos Papadopoulos
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Es ist nichts Falsches daran, dass sich die Wirtschaft von der Mathematik unterscheidet, aber das Vorgeben ist ein Problem. Ich bemerke die Praxis in Wirtschaftspapieren, Begriffe während einer Auseinandersetzung oft implizit zu definieren; Manchmal ist dies harmlos, aber manchmal wird es - absichtlich oder nicht - verwendet, um verborgene Annahmen zu verschleiern oder das zugrunde liegende Modell zu verbergen, und das ist eine schlechte Wissenschaft. Ich bestehe nicht darauf, dass Ökonomen jede letzte Variable berücksichtigen, aber sie sollten die Annahmen, die sie treffen, genau beschreiben, und dies ist die Funktion einer richtigen Definition.
Paul Siegel
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@PaulSiegel "Bad science" gibt es überall (in Mathe ist das letzte, an das ich mich erinnere, der Sturm von leichtfertigen Aufsätzen um Invexity), und es gibt es sicherlich auch in Economics. Aber die Frage ist nicht, ob es existiert - sondern wie weit verbreitet es ist. Und der Eindruck von "ziemlich oft" ist kein Beweis, obwohl auf diese Weise die wissenschaftliche Forschung tatsächlich beginnt. Sie sollte zumindest statistisch quantifiziert werden. Zum Beispiel habe ich den Eindruck, dass ich "selten" eine Wirtschaftszeitung gelesen habe und Zweifel an den getroffenen Annahmen hatte.
Alecos Papadopoulos
Zum Invexity-Beispiel: Siehe math.uaic.ro/~zalinesc/papers3.php?file=invexity.pdf
Martin Van der Linden
Ich bin damit einverstanden, dass es einige Arbeiten gibt, die sich bemühen, Mathematik zu sein, aber der Hauptunterschied ist Fälschbarkeit. Können Sie Vorhersagen über das dargestellte reale System treffen, die sich in endlicher Zeit als falsch oder falsch erweisen können? Dann ist dies ein wissenschaftliches oder wirtschaftliches Modell.
user157623
Unabhängig von Ihren Vorbehalten gegen Inexität hat der Ausdruck "Inexfunktion" eine genaue Definition, die beispielsweise in Wikipedia leicht nachgeschlagen werden kann. Nach meiner Erfahrung ist es in der Wirtschaftswissenschaft üblich, Begriffe mit so genannten "verbalen Argumenten" zu definieren und dann direkt zu detaillierten Berechnungen überzugehen, ohne sich die Zeit zu nehmen, um die mathematischen Annahmen zu erläutern, die erforderlich sind, damit diese Berechnungen Sinn machen. Manchmal geschieht dies verantwortungsbewusst und manchmal nicht. In beiden Fällen widerspricht die Praxis Ihrer Behauptung, dass "wir den Nebel beseitigen und unsere Räumlichkeiten zum Leuchten bringen".
Paul Siegel
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Definitionen in der Mathematik

Das Gebiet der Mathematik ist viel mehr als nur die Anwendungen. Tatsächlich sind die Anwendungen ein Ergebnis der tatsächlichen Mathematik, die in Form von Beweisen und Theoremen vorliegt. Zum Beispiel mussten Mathematiker in der Ringtheorie beweisen, dass a * 0 = 0für alle Werte von a. Unten ist der Beweis: Observe a * 0 = a(0 * 0) = a * 0 + a * 0. (1) Then we add -(a * 0) to both sides to get (a * 0) + -(a * 0) = (a * 0 + a * 0) + -(a * 0) (2) This gives us 0 = a * 0. (3)

Die Anwendungen davon kommen vielen Menschen zugute, wenn sie es gewohnt sind, zu zeigen 5 * 0 = 0, aber dies ist lediglich das Ergebnis eines umfassenderen Ergebnisses, das bewiesen wurde.

Wie sind diese Beweise aufgebaut? Durch Definitionen. Um das obige Ergebnis zu beweisen, konnten wir das nicht annehmen a(0 * 0) = a * 0 + a * 0; Stattdessen mussten wir die Definition eines "Rings" verwenden, der per Definition Zeile (1) zulässt. Ebenso mussten wir die Definition eines "Rings" verwenden, um zu wissen, dass wir -(a * 0)in Zeile (2) verwenden durften .

Definitionen in der Wirtschaft

In der Ökonomie werden jedoch nicht die gleichen Definitionen verwendet. Hier werden Definitionen ausschließlich für das "Definieren von Begriffen" und nicht für das "Verhältnis von Begriffen" verwendet. In der Volkswirtschaft kann man nicht nachweisen, dass eine Ausweitung der Geldmenge (die Inflation verursacht) die Arbeitslosigkeit kurzfristig senken wird. Die Definitionen in der Ökonomie sind dazu nicht eingerichtet; mehr noch, sie können das nicht.
Ein Grund dafür, dass die Definitionen in der Ökonomie dies nicht können, sind die Definitionen. Denken Sie an die Begriffe "gut", "Markt" und "Nachfrage". Alle diese Begriffe haben schlampige Definitionen. Sie beziehen sich nicht wirklich auf etwas anderes. Auf der anderen Seite gibt es Begriffe wie "Währung" und "BIP", die ausführlich und präzise definiert sind. Diese Definitionen wurden absichtlich gewählt, und die Messungen von "Währung" und "BIP" sind deshalb präzise.
Ein weiterer Grund, warum die Wirtschaftswissenschaften "schlechte" Definitionen haben, ist das Studium der Wirtschaftswissenschaften. Wirtschaft hängt stark von der Nachfrage des Einzelnen ab. Diese Nachfrage kann weder quantifiziert werden, noch gibt es eine Garantie dafür, dass sie von einem Moment zum nächsten gleich bleibt. Somit gibt es keinen wirklichen Weg, um einen Beweis zu konstruieren, der über einen bestimmten Moment hinaus wahr sein wird. Aus diesem Grund braucht die Wirtschaft keine strengen Definitionen. In der Mathematik können wir jedoch Beweise unabhängig von den von uns verwendeten Zahlen konstruieren und so die Grenzen bis in einen sehr weiten Kontext überschreiten. Im obigen Beweis haben wir aanstelle einer Nummer eine Nummer verwendet, sodass wir uns nicht darauf verlassen mussten, diese Nummer und nur diese Nummer zu verwenden. Durch die Verwendung von awissen wir, dass die Multiplikation mit einer beliebigen Zahl 0uns ergibt 0.

Antwort an Edesess

Edesess ist meistens (wahrscheinlich 95%) korrekt. In Wahrheit sind die meisten Definitionen der Ökonomie nicht "genau definiert" wie mathematische Definitionen. In der Mathematik werden die Definitionen von der Mathematischen Gemeinschaft als Ganzes sorgfältig geprüft und festgelegt (nicht zu sagen, dass wirtschaftliche Definitionen dies nicht sind, aber das liegt außerhalb meines Wissens). Aufgrund der Natur der Wirtschaft kann die Verwendung der Definitionen auch nicht dazu verwendet werden, irgendetwas zu beweisen.
Als Reaktion auf Edesess sollte die Wirtschaft jedoch nicht als Mathematik behandelt werden, da sich die Art und Weise, wie sie Entdeckungen macht, grundlegend unterscheidet. Die Wirtschaftlichkeit wird durch Umfragen, Marktdaten, Angebots- und Nachfragediagramme verbessert. Die Mathematik wird durch Forschung, Beweise und Theoreme gefördert.

Mathematiker
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Sie schreiben In Economics kann man nicht beweisen, dass eine Ausweitung der Geldmenge kurzfristig die Arbeitslosigkeit senken wird . Aber natürlich kann man. Man kann genau dies in einigen Modellen und genau das Gegenteil in einigen anderen beweisen, genauso wie man in der Mathematik beweisen kann, dass einige Ringe kommutativ und andere antikommutativ sind. Ja, es ist durchaus möglich, schlampig zu sein, wenn Sie über Wirtschaft sprechen, genauso wie es durchaus möglich ist, schlampig zu sein, wenn Sie über Mathematik sprechen. Die Zukunft dieser Site wird in hohem Maße davon abhängen, wie viel Schlamperei dieser Art toleriert wird.
Steven Landsburg
@StevenLandsburg Ah, aber wie haben sie das bewiesen ? Es wurde nicht durch Definitionen und logisches Denken auf die gleiche Weise bewiesen, wie mathematische Beweise konstruiert werden. Wenn Sie mit dem nächsten und folgenden Satz des von Ihnen zitierten Satzes fortfahren, erkläre ich dies weiter.
Mathematiker
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Die Kritik von Edesess geht daneben. Die Realität ist viel tiefer als der bloße Missbrauch mathematischer Definitionen.

Die Wahrheit einer mathematischen Aussage hängt stark von der Fähigkeit ab, alle Definitionen zurückzuverfolgen, die für die axiomatische logische Ebene verwendet werden. In diesem Sinne würde man keinen Mathematiker finden, der wild Definitionen verwendet , die nicht auf den mathematisch / logisch wahren Wissensbestand reduziert werden können, der bereits existiert. Aber das ist das Offensichtliche.

In den Bereichen der angewandten Wissenschaft (Biologie, Medizin, Ingenieurwesen usw.) beginnt man mit einem realen Problem (Problemdomäne) oder Phänomen und modelliert das Problem in der Sprache der Mathematik. Ziel ist es, ein mathematisches Problem zu lösen / zu studieren / zu simulieren, um etwas über das eigentliche Problem sagen zu können.

In der Kritik geht es eigentlich um die Mathematisierung der Ökonomie (die mit Samuelson in den 50er und 60er Jahren begann). Die Behauptung ist, dass einige Ökonomen die Transformation in den mathematischen Bereich vornehmen und das ursprüngliche Problem aus den Augen verlieren und sich nie wieder in den Problembereich (dh das Zusammenspiel von Menschen, Unternehmen, Ressourcen usw.) zurückverwandeln. Diese Ökonomen scheinen sich damit zufrieden zu geben, lineare algebraische Beziehungen zu formulieren oder automatisch regressive Vektorgleichungen zu lösen, ohne empirische Rechtfertigung - oder schlimmer noch - zu behaupten, dass eine solche Ökonomie kurzfristigen Erwägungen überlegen ist (dh meine Theorie kann in keinem unserer Lebenszeiten verfälscht werden).

Dafür gibt es viele Beispiele. Ein offensichtlichste ist das die sogenannte Theorie des allgemeinen Gleichgewichts - was nicht nur mathematisch fehlerhaft dargestellt wird (über multiple Gleichgewichte (siehe Sonnenschein, Mantel, Debreu Satz) in den 1970er Jahren), ist aber die Hypothese aufgestellt fehlt jedes empirisches Gehalt. Infolgedessen bevorzugen einige Ökonomen es, im mathematischen Bereich zu bleiben - vielleicht jagen sie ein genaueres Modell (berechenbares GE, dynamisches GE, stochastisches GE, dynamisches stochastisches GE usw.) -, daher die missverstandene Kritik, die Ökonomen als Mathematiker tarnen . Man könnte den Fall herbeiführen, dass solche Menschen genauer als Pseudomathematiker beschrieben werden, die sich als Ökonomen tarnen (im Sinne des Problems).

Rusan Kax
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Erstens gibt es nichts auszusetzen, wenn man mehrere Gleichgewichte hat. Physikalische Systeme können mehrere Gleichgewichte haben, und das ist auch für die Physik kein Problem. Zweitens hat die allgemeine Gleichgewichtstheorie überprüfbare Auswirkungen, wie die Arbeit von Brown-Matzkin zeigt.
Michael Greinecker
Vielen Dank. Ich implizierte nicht, dass multiple Gleichgewichte das eigentliche und einzige Problem waren. Ja, Brown und Matzkin haben nachgewiesen, dass es testbare "restriktive" Fälle auf dem Gleichgewichtsverteiler gibt. Sie gaben genaue Lösungen für einige "Sonderfälle": eine Zwei-Agenten-Wirtschaft und eine Robinson-Crusoe-Produktionswirtschaft. Als Erweiterungen, insbesondere bei Vorhandensein externer Effekte, wurden von Carvajal Anfang der 2000er Jahre negative (dh nicht fälschbare) Ergebnisse erzielt. Klingt für mich nach reiner Mathematik.
Rusan Kax
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Es gibt eine Lücke zwischen "was sich nicht nur als mathematisch fehlerhaft erwiesen hat" und "Klingt für mich nach reiner Mathematik".
Michael Greinecker
Klingt nach reiner Mathematik im Sinne von: "Infolgedessen bevorzugen einige Ökonomen es, im mathematischen Bereich zu bleiben - vielleicht jagen sie ein genaueres Modell (berechenbares GE, dynamisches GE, stochastisches GE, dynamisches stochastisches GE usw. usw.). ".
Rusan Kax