Marshallianische Nachfrage nach Cobb-Douglas

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Beim Versuch, das Dienstprogramm mit einer Cobb-Douglas-Dienstprogrammfunktion mit maximieren , habe ich die folgenden Formeln gefunden ( Wikipedia: Marshallian Demand ):u=x1ax2ba+b=1

x1=amp1x2=bmp2

In einem meiner Bücher finde ich auch diese Formeln für den gleichen Zweck:

x1=aa+bmp1x2=ba+bmp2

Mit : Preise der Ware; : Budgetpim

Ich habe sie alle getestet und sie haben die gleichen Ergebnisse erzielt.
Gibt es also Unterschiede?

user1170330
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bezieht sich ausschließlich auf ? bisax1bx2
Jamzy
Können Sie eine Notation korrigieren? Sind im zweiten Beispiel a und b die Exponenten in der Utility-Funktion x1 und x2? Summieren sie 1? Ist y im ersten Problem dasselbe wie m im zweiten?
BKay
@ Jamzy: Ja, das tut es.
user1170330
@BKay: Bitte beachten Sie meine aktualisierten Notationen.
user1170330

Antworten:

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Da die Gleichungen genau gleich. Das Ersetzen von durch in der dritten und vierten Gleichung ergibt die erste und zweite Gleichung.a+b=1a+b1

BKay
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Können diese Formeln auch bearbeitet werden, um mit einer Dienstprogrammfunktion wie ? Also mit einer zusätzlichen Nummer vor ? u=5x10.52x20.5xi
user1170330
Ich schlage vor, dies als neue Frage zu stellen.
BKay
Was ist, wenn ? Sollte ich in diesem Fall Formel 3 und 4 verwenden? a+b1
user1170330
@ user1170330 wenn es noch funktionierta+b1
Jamzy
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So gelangen Sie von Ihrer ersten zur zweiten Gleichung. Ihre Utility-Funktion ist da Ich werde sie leicht in a und (1-a) ändern. Um diese beiden Auswahlmöglichkeiten zu optimieren, müssen Sie den Utility maximieren Schreiben Sie Ihre Auswahlvariablen.u(x1,x2)=x1ax2ba+b=1

vorbehaltlich Verwendung des Walras-Gesetzes. Grundsätzlich wird zur Optimierung des Nutzens das gesamte Geld ausgegeben.p1x1+p2x2=w

Cobb-Douglas-Funktionen sind normalerweise für Optimierungsprobleme schwierig. Eine monotone Transformation, die die ordinalen Eigenschaften der Funktion beibehält, kann verwendet werden.

aln(x1)+(1a)ln(x2)

Dies wird stattdessen verwendet. Die gleiche Budgetbeschränkung wird angewendet.

Die Bedingungen für Lagrange und erste Bestellung sind unten aufgeführt

L=aln(x1)+(1a)ln(x2)λ(wp1x1p2x2)

δLδx1=ax1λp1=0

δLδx2=1ax2λp2=0

Das Manipulieren der Bedingungen erster Ordnung führt zu

λ=ax1p1

λ=(1a)x2p2

ax1p1=(1a)x2p2

Ersetzen in der Budgetbeschränkungp2x2=wp1x1

ax1p1=(1a)wp1x1

x1=wap1

und

p1x1=wp2x2

awp2x2=(1a)p2x2

w=a(1α)p2x2+p2x2

w(1a)=p2x2

x2=w(1a)p2

Mit diesen Ergebnissen können wir die optimalen Verbrauchsbündel von und für eine bestimmte Kombination aus Preis und Vermögen ermitteln.x1x2

x1=wap1

x2=w(1a)p2

Jamzy
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