Lagrange: Wie man den No-Ponzi-Zustand versteht

$$L = E_0 \sum_{t=0}^{\infty}\beta^t\{U(C_t,N_t) + \lambda_t(P_tC_t + Q_tB_t - B_{t-1}-W_tN_t+T_t)+\psi_t(\lim_{T \to \infty} B_T)\}$$ $B_t$$\lim_{T \to \infty} B_T \geq 0$

Auf Seite 9 werden dann alle Bedingungen erster Ordnung abgeleitet, aber ich sehe nichts im Zusammenhang mit und der Solvabilitätsbedingung. Warum kann die Bedingung erster Ordnung in Bezug auf gelöscht werden?$\psi_t$$\psi_t$

Die Bedingung wird meist als No-Ponzi (-scheme) [NP] Bedingung bezeichnet. Es ist eine weitere Einschränkung, die Ponzi-Schemata verhindert: Schulden mit neuen höheren Schulden ad infinitum bezahlen.

Übrigens: Die NP-Bedingung ist eine Bedingung, daher sollte der zugehörige Multiplikator statt . Zwar geht nichts verloren , wenn wir den gleichen Zustand immer und immer wieder wiederholen (für jedes ), aber wir brauchen ihn nicht mehr als einmal, und er ist ungenau.$\psi$$\psi_t$$t$

Denken Sie an die Optimierung für endliche Perioden. Dann haben Sie die Bedingung, dass . Die Lagrange-Optimierung gibt Ihnen die lokale Optimierung zwischen ... Es gibt viele Lösungen, die lokal optimal sind, aber Sie werden nur Lösungen zulassen, die am Ende zu .$T$$B_T \geq 0$$0, 1, 2$$B_T > 0$

Ein einfaches Beispiel

Ihr Beispiel ist viel zu chaotisch, um über diese Kernprobleme nachzudenken. Schauen Sie sich stattdessen das Problem an

$$\max_{\{c_t, a_{t+1}\}_t} \sum_t \beta^t U(c_t) + \lambda_t (a_{t+1} + c_t - Ra_t)$$

Das heißt, ein Haushalt, der Vermögenswerte und Verbrauch auswählt, um seinen Nutzen zu maximieren. Sie können den FOC als zusammenfassen$a$$c$

$$\beta^t U'(c_t) = \lambda_t \\ \lambda_t a_{t+1} = R\lambda_{t+1}\\ \Leftrightarrow U'(c_t) = \beta R U'(c_{t+1})$$

Schauen Sie sich für einen Moment den Sonderfall an, in dem (was bedeutet das?). Dies führt bei den meisten Präferenzen zwangsläufig zu . Dies ist die lokale Optimierung, auf die ich mich bezog, und die der Lagrangeer Ihnen gibt. Es gibt jedoch unendlich viele Lösungen, die erfüllen . Als Nächstes versuchen wir, die Budgetbeschränkung zu verwenden:$\beta R = 1$$c_t = c_{t+1}$$c_t = c_{t+1}$

$$a_{t+1} + c_t = R a_t\\ \Leftrightarrow R a_0 = \lim_{T\to\infty}\sum_{t=0}^T \frac{c_t}{R^t} + \frac{a_{T+1}}{R^T}$$

Dies ist soweit es uns möglich ist, die (unendliche) Menge lokaler Budgetbeschränkungen zu verwenden, bei denen ich (hoffentlich richtig) die Vorwärtsiteration verwendet habe, unter der Annahme, dass ein Startdatum .$t=0$

Nun, wenn auch der Haushalt der NP Bedingung zu erfüllen hat, kocht dies auf

$$R a_0 = \lim_{T\to\infty}\sum_{t=0}^T \frac{c_t}{R^t}$$

Wie wir gezeigt haben, ist konstant, wir leicht lösen und eine einzige Budgetbeschränkung erhalten können. Die einzigartige Lösung für das Problem, das die NP-Bedingung erfüllt, ist die Lösung, bei der eine Konstante ist und diese letzte Gleichung gilt.$c_t$$c_t$