Berechnen Sie die Position des Differentialantriebsroboters

Wie berechnet oder aktualisiert man die Position eines Differentialantriebsroboters mit Inkrementalsensoren?

An jedem der beiden Differenzialräder ist ein Inkrementalsensor angebracht. Beide Sensoren ermitteln den Abstand $\Delta left$ resp. ihr Rad hat während einer bekannten Zeit gerollt .Δ $\Delta right$$\Delta t$

Nehmen wir zunächst an, dass die Mitte zwischen beiden Rädern die Position des Roboters markiert. In diesem Fall könnte man die Position berechnen als:

$$x = \frac{x_{left}+x_{right}}{2} \\ y = \frac{y_{left}+y_{right}}{2}$$

"Ableiten" dieser Gleichungen unter der Annahme, dass beide Räder in einer geraden Linie rollten (was für kleine Entfernungen ungefähr korrekt sein sollte), erhalte ich:

$$\frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{1}{2}\left( \frac{\Delta left}{\Delta t} + \frac{\Delta right}{\Delta t}\right)cos(\theta) \\ \frac{\Delta y}{\Delta t} = \frac{1}{2}\left( \frac{\Delta left}{\Delta t} + \frac{\Delta right}{\Delta t}\right)sin(\theta)$$

Wobei der Orientierungswinkel des Roboters ist. Für die Änderung dieses Winkels habe ich die Gleichung gefunden$\theta$

$$\frac{\Delta \theta}{\Delta t} = \frac{1}{w} \left( \frac{\Delta left}{\Delta t} - \frac{\Delta right}{\Delta t}\right)$$

Wobei der Abstand zwischen beiden Rädern ist.$w$

Da und von abhängen , frage ich mich, ob ich zuerst das neue durch Hinzufügen von berechnen oder lieber das "alte" . Gibt es einen Grund, eins übereinander zu verwenden?$\Delta x$$\Delta y$$\theta$$\theta$$\Delta \theta$$\theta$

Nehmen wir nun an, dass die Mitte zwischen beiden Rädern nicht die Position des Roboters markiert. Stattdessen möchte ich einen Punkt verwenden, der die geometrische Mitte des Begrenzungsrahmens des Roboters markiert. Dann ändern sich und zu:$x$$y$

$$x = \frac{x_{left}+x_{right}}{2} + l\, cos(\theta)\\ y = \frac{y_{left}+y_{right}}{2} + l\, sin(\theta)$$

"Ableiten" des ersten gibt:

$$\frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{1}{2}\left( \frac{\Delta left}{\Delta t} + \frac{\Delta right}{\Delta t}\right)cos(\theta) - l\,sin(\theta)\,\frac{\Delta \theta}{\Delta t}$$

Jetzt besteht eine Abhängigkeit von . Ist dies ein Grund, das "neue" ?$\Delta \theta$$\theta$

Gibt es eine bessere Methode zur gleichzeitigen Aktualisierung von Position und Orientierung? Verwenden Sie möglicherweise komplexe Zahlen (der gleiche Ansatz wie bei Quaternionen in 3D?) Oder homogene Koordinaten?

Zur Beantwortung Ihrer ersten Frage: Wenn Sie wirklich die wahren kinematischen Gleichungen für den Differentialantrieb finden möchten, würde ich nicht annähernd davon ausgehen, dass sich jedes Rad in einer geraden Linie bewegt hat. Ermitteln Sie stattdessen den Wendekreis, berechnen Sie den Mittelpunkt des Bogens und berechnen Sie dann den nächsten Punkt des Roboters. Der Wenderadius wäre unendlich, wenn sich der Roboter gerade bewegt, aber im geraden Fall ist die Mathematik einfach.

Stellen Sie sich also vor, dass der Roboter über jeden Zeitschritt oder jedes Mal, wenn Sie die Änderung der inkrementellen Sensoren berechnen, auf einem Bogen wie folgt von Punkt A zu Punkt B fährt: Hier ein Beispielcode mit vereinfachter Mathematik:

// leftDelta and rightDelta = distance that the left and right wheel have moved along
//  the ground

if (fabs(leftDelta - rightDelta) < 1.0e-6) { // basically going straight
    new_x = x + leftDelta * cos(heading);
    new_y = y + rightDelta * sin(heading);
    new_heading = heading;
} else {
    float R = unitsAxisWidth * (leftDelta + rightDelta) / (2 * (rightDelta - leftDelta)),
          wd = (rightDelta - leftDelta) / unitsAxisWidth;

    new_x = x + R * sin(wd + heading) - R * sin(heading);
    new_y = y - R * cos(wd + heading) + R * cos(heading);
    new_heading = boundAngle(heading + wd);
}

Ich habe ähnliche Berechnungen in einem Simulator verwendet, um verschiedene Arten der Steuerung zu demonstrieren: http://www.cs.utexas.edu/~rjnevels/RobotSimulator4/demos/SteeringDemo/

$\Delta\theta$$\theta$$\Delta{x}, \Delta{y}$

$\Delta\theta$$\Delta{x}, \Delta{y}$$\theta$

$\Delta{t}$$0$