Kann die Linienmethode verwendet werden, um alle PDEs zu diskretisieren?

Ich habe festgestellt, dass die Methode der Linien eine sehr natürliche Art ist, über die Diskretisierung von PDEs nachzudenken. Daher greife ich immer auf diese Denkweise zurück, wenn mir ein neuer Satz von Gleichungen präsentiert wird. Ich habe noch nie eine PDE gesehen, bei der dies nicht funktionieren würde.

Ich frage mich, ob es Diskretisierungsmethoden (oder Arten von PDEs) gibt, die nicht durch Linienmethoden formuliert werden können. Ich gehe davon aus, dass jede PDE, bei der die Zeitableitung in der Gleichung enthalten ist und nicht gelöst werden kann, ein solcher Fall ist (obwohl mir kein aktuelles Beispiel dafür bekannt ist). Ich suche nach Gründen, warum die Methode der Linien immer anwendbar ist, oder nach einem Gegenbeispiel.

Eine Situation, in der der übliche Ansatz der Linienmethode nicht auf einfache Weise verwendet werden kann, sind Gleichungen mit gemischten Raum-Zeit-Ableitungen. Mit "üblicher Ansatz der Linienmethode" meine ich die Diskretisierung räumlicher Ableitungen, gefolgt von Anwendung einer Runge-Kutta- oder linearen Mehrschrittmethode. Dies gilt normalerweise nur für Systeme von Evolutions-PDEs erster Ordnung (zeitlich).

Ein Beispiel für Gleichungen mit solchen gemischten Ableitungen ist Gl. (2.1) von http://epubs.siam.org/doi/pdf/10.1137/060676064 .

Zumindest in einigen Fällen ist es möglich, Gleichungen wie Systeme von Evolutions-PDEs erster Ordnung neu zu schreiben, aber ich sehe hier nicht sofort einen Weg, dies zu tun. Es mag andere Tricks geben, um die Methode der Linien auf solche Gleichungen anzuwenden, aber ich kenne sie nicht.