Unterschied zwischen l2-Norm und L2-Norm

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Was ist der Unterschied zwischen der l2 -Norm und der L2 -Norm ? Ich kann keine endgültige Referenz finden. Wikipedia verwendet sie austauschbar.

Damaststahl
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Normalerweise kann 2 als diskrete Version L2 : 2 ist die Norm für Sequenzen, während L2 die Norm für Funktionen auf der realen Linie ist.
SB
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Der Kommentar von @ SB ist korrekt und sollte in eine Antwort umgewandelt werden.
Brian Borchers
Obwohl Sie bedenken sollten, dass sie manchmal so denken, wie sie denken. Sie finden eine Zuordnung für Funktionen zu Sequenzen. Zum Beispiel eine Fourier-Reihe einer Funktion (und die Folge ihrer Koeffizienten).
Nicoguaro

Antworten:

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Beide Normen sind insofern ähnlich, als sie durch das Skalarprodukt des jeweiligen Hilbert-Raums induziert werden, unterscheiden sich jedoch, weil die verschiedenen Räume mit unterschiedlichen inneren Produkten ausgestattet sind:

  • RNv=(v1,,vN)TRN

    v22=(v,v)2=i=1Nvi2.
  • Für (der Raum realer Sequenzen, für den die folgende Norm endlich ist) ist die Norm von definiert durch 2v={vi}iN2

    v22=(v,v)2=i=1vi2.
  • Für (der Raum der messbaren Funktionen von Lebesgue in einer begrenzten Domäne für die die folgende Norm endlich ist) ist die Norm von ist definiert durch L2(Ω)ΩRduL2(Ω)

    uL22=(u,u)L2=Ωu(x)2dx.

All dies ist Standard, kann in jedem einführenden Lehrbuch zur Funktionsanalyse gefunden werden und ist Ihnen wahrscheinlich bereits bekannt. Da die Frage als , sind Sie wahrscheinlich an dem praktischen Unterschied bei der Verwendung des einen oder anderen interessiert, beispielsweise für die Finite-Elemente-Diskretisierung. Angenommen, Sie haben einen endlichdimensionalen Unterraum der die Spanne einer endlichen Anzahl von Basisfunktionen . Dann kann jedes geschrieben werden als Seit können Sie natürlich an messenVhL2(Ω){φ1,,φN}uhVh

(1)uh=i=1Nuiφi.
VhL2(Ω)uhL2Norm. Alternativ können Sie mit dem Vektor (manchmal auch als Koordinatenisomorphismus bezeichnet ) identifizieren und nach der euklidischen Norm von messen .uhu:=(u1,,uN)TRNuhu

Wie vergleichen sich die beiden Messmethoden von ? Das Einfügen der Definition ergibt wobei die Masse ist Matrix mit Einträgen . Zum Vergleich haben wir uh(1)

uhL22=(uh,uh)L2=i=1Nj=1NuiujΩφi(x)φj(x)dx=uTMhu,
MhRN×NMij=Ωφi(x)φj(x)dx
uh22:=u22=uTu.

Beide Normen sind daher äquivalent, dh es existieren Konstanten so dass Im Prinzip können Sie also beide Normen austauschbar verwenden. Wenn der Fehler in einer Norm auf Null geht, geht er in der anderen Norm ebenfalls auf Null und mit derselben Rate. Beachten Sie jedoch, dass die Konstanten und zwar unabhängig von , jedoch von und insbesondere von abhängen . Dies ist wichtig, wenn Sie Diskretisierungsfehler für verschiedene Räume mit (sagen wir) vergleichen möchtenc1,c2>0

c1uh2uhL2c2u2for all uhVh.
c1c2uhVhNVhN1<N2In diesem Fall sollten Sie eine Norm verwenden, die selbst nicht von oder abhängt , dh die Norm. (Sie können dies sehen, indem Sie als konstante Funktion und für verschiedene mit - die ersteren skalieren als , während letzteres für jedes den gleichen Wert hat , da die Massenmatrix die Skalierung kompensiert.)N1N2L2uhuh=1uh2NuhL2NN

Es gibt auch eine dritte - Zwischen - Alternative, bei der die Massenmatrix durch eine Diagonalmatrix (z. B. indem als diagonale Elemente von die Summe der entsprechenden Zeile von ) und die Norm als ; Dies wird üblicherweise als Massenklumpen bezeichnet . Diese Norm entspricht auch sowohl der als auch der Norm - und in diesem Fall hängen die Konstanten und beim Vergleich von und der Massenklumpen-Norm nicht von .DhDhMhuhD2:=uTDhu=i=1N(Dh)iiui22L2c1c2L2N

Christian Clason
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Die 2-Norm für Sequenzen wird mit . Für Funktionen auf der reellen Linie ist die Standardnotation der 2-Norm.2L2

SB
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Gibt es eine endgültige Referenz, die ich mir ansehen kann?
Damaskus Stahl
Ich kenne keine spezifische Referenz, aber ich nehme an, dass Sie mehr über diese Definitionen in Standardlehrbüchern für echte Analysen finden können.
SB
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Ich würde vorschlagen - Erwin Kreyszig. Einführende Funktionsanalyse mit Anwendungen, Wiley.
Nicoguaro
@nicoguaro Danke. Das habe ich gesucht.
Damascus Steel