diskrete

Ich lese ein Buch über numerische Methoden und das Quadrat der diskreten $L^2$ -Norm ist definiert als

| | x | |_{2}^{2} = h \sum_{1}^{N} x_{i}^{2}

$||x||^2_2=h\sum_1^Nx^2_i$ Jeder Punkt erhält ein "Gewicht", das

h

$h$ ist. Dies ist also wie ein Durchschnitt über die Quadrate der Werte an allen Punkten. Dies ergibt sich tatsächlich aus der Approximation eines stetigen Integrals. Kann ich andererseits eine ähnliche Norm definieren, bei der das Gitter mit dem Abstand

ungleichmäßig ist

h_{i}

$h_i$ als

| | x | |_{2}^{2} = \sum_{1}^{N} h_{i} x_{i}^{2}

$||x||^2_2=\sum_1^Nh_ix^2_i$ das scheint mir natürlich, da ich auf diese Weise auch ein kontinuierliches Integral annähern könnte, aber da ich nicht sehe, dass mich das in den Büchern misstrauisch gemacht hat, fehlt mir etwas! Wenn ich also ein ungleichmäßiges Raster habe und einige Schätzungen in dieser Norm vornehmen möchte, wie sollte man es definieren?

pde Kamil
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Es gibt keinen Hinweis, da ich das in dem Buch NICHT gesehen habe. Deshalb frage ich, was falsch ist, wenn ich es so definiere.

Kamil

@ David, ich glaube nicht, dass ich dort einen Tippfehler habe, oder? Ich öffne gerade das erste PDF eecs.berkeley.edu/~colella/E266AFall2012/E266A20120920.pdf und es sieht für mich auf Seite 2 genauso aus.

Kamil

0... N

$0...N$

h = 1 / N

$h=1/N$

h = 1 / (N - 1)

$h=1/(N-1)$

Ich entschuldige mich. Sie haben mich verwirrt, indem Sie behaupteten, Sie würden die Norm definieren. Ich habe nie auf die linke Seite Ihrer Gleichung geschaut, da ich angenommen habe, dass sie mit dem vorhergehenden Text übereinstimmt. Ich sehe jetzt, dass Sie die Norm (richtig) im Quadrat definiert haben. Ich habe den Text so bearbeitet, dass er damit übereinstimmt. Das ist eine gute Frage.

David Ketcheson

Antworten:

Sie haben genau Recht: Die Norm ist so definiert, dass die diskrete (Vektor-) Norm der kontinuierlichen Norm einer entsprechenden Funktion entspricht (oder sich dieser zumindest annähert).

$h_i$

$h^2$ $h^3$

Wolfgang Bangerth
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$f(x)$ $x \in (a,b)$ $L^2$

‖ f ‖_{2}^{2} = \int_{a}^{b} | f (x) |^{2} d x .

$\begin{equation} \lVert f \rVert_2^2 = \int_a^b \lvert f(x)\rvert^2 \, dx. \end{equation}$

f \equiv {f_{i} = f (x_{i}), i = 0 \dots N}

$\mathbf f \equiv \{ f_i = f(x_i), \; i=0\dots N\}$

x_{i} = a + i \frac{b - a}{N}

$x_i = a + i \frac{b-a}{N}$

L^{2}

$L^2$

\begin{aligned} ‖ f ‖_{2, d}^{2} & = h \sum_{i = 0}^{N} | f_{i} |^{2}, & h = \frac{b - a}{N} \end{aligned}

$\begin{align} \lVert \mathbf f \rVert_{2,\text{d}}^2 &= h \sum_{i=0}^N \lvert f_i \rvert^2, &h = \frac{b-a}{N} \end{align}$ In Ihrer Frage nehmen Sie an, dass dies getan wird, weil wir wollen, dass und Sie interpretieren die diskrete Norm als eine Art Quadraturregel und fragen sich, warum für ungleichmäßige Gitter keine bessere Formel verwendet wird.

lim_{h \to 0} ‖ f ‖_{2, d} = ‖ f ‖_{2}

$\begin{equation} \lim_{h \rightarrow 0} \: \lVert \mathbf f \rVert_{2,\text{d}} = \lVert f \rVert_2 \end{equation}$

Diese Interpretation ist nicht falsch, aber nicht die einzig mögliche. Als Ingenieur, der mit physikalischen Größen anstelle von reinen Zahlen arbeitet, stelle ich mir die diskrete Norm lieber als eine -euklidische Norm vor, die so skaliert ist, dass sie dimensional homogen zur Kontinuums- Norm ist. Wenn wir also beweisen können, dass , können wir erwarten, dass . Ohne den Skalierungsfaktor wäre dies nicht wahr. $\ell^2$ $L^2$ $\lVert f - f^h \rVert_2 \rightarrow 0$ $\lVert \mathbf f -\mathbf f^h\rVert_{2,\text{d}} \rightarrow 0$

BEARBEITEN:

Ich habe meine Schlussfolgerungen hier gelöscht. Siehe die Antwort von Wolfgang.

Beachten Sie, dass die skalierte euklidische Norm einfach zu berechnen ist, während Ihr Vorschlag etwas ungenau ist (möglicherweise einige Bedenken als Quadraturformel aufwirft) und teuer zu berechnen ist.

Fazit: Die diskrete -Norm ist nicht (muss nicht sein) und nähert sich der kontinuierlichen an, sondern kann einfach als skalierte -euklidische Norm interpretiert werden, die hinsichtlich der kontinuierlichen Norm dimensional konsistent ist. $L^2$ $\ell^2$ $L^2$

Stefano M.
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ok, ich stimme einem Skalierungsfaktor zu. Auch wenn die Berechnung teuer sein kann, ist dies kein grundlegender Grund, sie nicht zu verwenden. Wenn ich es sowieso nicht definieren kann, kann ich anscheinend keine Stabilitätsschätzungen für ein ungleichmäßiges Gitter durchführen, da die Stabilität mit einer Norm verbunden ist und ich keine finden kann. Wie würde man damit umgehen als die Beweise für ein ungleichmäßiges Gitter?

Kamil

@Kamil meine Antwort war nur eine mögliche Begründung für die diskrete Norm in . (Nach der gleichen Überlegung gelangen Sie zu einer Skalierung für dimensionale Räume.) Es ist nicht meine Absicht, Ihnen die Verwendung einer Norm zu verbieten, die so definiert ist, wie Sie es bevorzugen. Um Ihre Bedenken auszuräumen, sollten Sie jedoch konkrete Beispiele angeben, in denen Sie der Meinung sind, dass die "Standard" -Definition nicht gültig ist oder zu falschen Ergebnissen führt.

L^{2}

$L^2$

1 D

$1D$

h^{d}

$h^d$

d

$d$

Stefano M

Aha. Das Beispiel ist, ich habe ein ungleichmäßiges Gitter, muss nichts Verrücktes sein, nur eine einfache Ungleichheit. Daher denke ich über eine Methode nach, sagen Euler implizit und bereit, ihre Stabilität zu beweisen. Wie definiert man dann eine Norm? Ich sehe in Büchern, dass die gesamte Theorie für einheitliche Netze aufgebaut ist, es gibt jedoch Vorteile des ungleichmäßigen Gitters in Bezug auf einen lokalen Kürzungsfehler ...

Kamil

Ich schätze Ihre Antwort, aber ich habe die zweite ausgenommen, da sie tatsächlich die Frage nach der Möglichkeit der Definition einer solchen Norm beantwortet hat.

Kamil