Als ich heute über die Theorie der Differentialformen las, war ich beeindruckt, wie sehr sie mich an die Finite-Volumen-Methode zweiter Ordnung (FVM) erinnerte.
Ich kämpfe darum herauszufinden, ob ich auf diese Weise nur trivial denke oder ob es eine tiefere Verbindung gibt.
Nun, Differentialformen dienen dazu, einige Konzepte zu verallgemeinern, die tief in der FVM zweiter Ordnung verwurzelt sind, wie den Fluss von Flüssigkeit durch eine Oberfläche, und wir beschäftigen uns alle mit Flüssen in der FVM. Dann ist der Integralsatz (von Stokes) eines der zentralen Objekte in der Theorie der Differentialformen. Es zeigt sich, dass Differentialformen auf einer Mannigfaltigkeit integriert sind, auf der Simplexe (Dreiecke, Tetraeder usw.) Erscheinen. Die Mannigfaltigkeit ist tatsächlich auf die gleiche Weise tesselliert, wie wir eine glatte Form darstellen, über die Flüssigkeit mit geraden Zellen fließt.
Dies sind nur einige der ähnlichen Dinge. Tatsache ist, dass ich beim Lesen über Differentialformen nicht aufhören konnte, über FVM nachzudenken.
Stellt die Finite-Volumen-Methode zweiter Ordnung tatsächlich die rechnerische Manifestation der Differentialformtheorie dar?
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Antworten:
Der Satz von Stokes verallgemeinert viele der Identitäten, die Sie aus der Vektorrechnung kennen, wie beispielsweise den Divergenzsatz. Diese Identitäten werden auf integrale Erhaltungsgesetze angewendet, um grenzüberschreitende Flüsse in Finite-Volume-Methoden zu berechnen, sodass man, wie Sie vermuten, in der Lage sein sollte, alles in Form von Differentialformen zu schreiben.
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Differentialgeometrische Techniken werden bei Formulierungen / beim Verständnis von Finite-Elemente-Methoden (-Volumen) verwendet.
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