Wie konstruiere ich ein ausgewogenes endliches Volumen und diskontinuierliche Galerkin-Methoden für hyperbolische PDEs mit Quelltermen?

Quellbegriffe, wie sie beispielsweise auf die Bathymetrie in den Flachwassergleichungen zurückzuführen sind, müssen in besonderer Weise integriert werden, um physikalische Gleichgewichtszustände zu erhalten. Gibt es eine allgemeine Möglichkeit, ausgewogene Methoden zu konstruieren, oder sind für jede Gleichung spezielle Techniken erforderlich?

Die kurze Antwort lautet: Es erfordert spezifische Arbeit für verschiedene Gleichungen, aber es gibt einige allgemeine Techniken, die vorschlagen, wie man es macht. Grundsätzlich ist eine Evolution PDE erster Ordnung gegeben

wo $A,B$ sind einige (möglicherweise differentielle) Operatoren, die stationären Zustände sind diejenigen, für die

Es ist üblich, einen Aufteilungsansatz zu verwenden, bei dem $A$ und $B$werden auf unterschiedliche Weise diskretisiert. Dann gibt es Abschneidefehler, die mit jeder dieser Diskretisierungen verbunden sind, und die Abschneidefehler heben sich im Allgemeinen auch im Fall eines stationären Zustands nicht auf. Ein klassisches Beispiel (wie in der Frage erwähnt) sind die Flachwassergleichungen mit Bathymetrie, in denen$A$ steht für konvektive Begriffe und $B$repräsentiert den Impulsantrieb aufgrund der variablen Bodenhöhe. In den letzten Jahren wurden zahlreiche Veröffentlichungen veröffentlicht, die verschiedene Möglichkeiten bieten, um die stationären Lösungen exakt aufrechtzuerhalten.

Ein Ansatz, den ich mag, ist die Verwendung von f-Wellen-Riemann-Solvern, wie sie von Bale et al. al. . Die Idee ist, die konvektiven Terme mit einer Godunov-Methode zu diskretisieren, aber den Beitrag von den anderen Terme innerhalb des Riemann-Lösers abzuziehen . Im stationären Zustand werden dann keine Wellen erzeugt. Dies setzt jedoch voraus, dass die Konvektions- und Quellterme genau berechnet werden (um genau abzubrechen). Dies ist für die Flachwassergleichungen möglich, für viele andere Systeme jedoch schwieriger.