Wenn die 3D-Poisson-Gleichung
und die rechte Seite und die Domäne gegeben sind, kann ich der Funktion Randbedingungen (BC) auferlegen oder tun müssen sie irgendwie mit der rechten Seite übereinstimmen? Insbesondere wenn ich periodische BC auferlege, gibt es genau eine Lösung für eine rechte Seite?
Zum Beispiel sei:
und ich löse auf einer Box . Jetzt muss jede Lösung eine Summe von wobei:
weil ist und eine beliebigeharmonische Funktion ist(dh ). Richtig?
Wenn ich Dirichlet BC Null auferlege, ist die einzige Lösung, da es das BC erfüllt, die Gleichung erfüllt und die Lösung eindeutig sein muss. Richtig?
pde
boundary-conditions
elliptic-pde
Ondřej Čertík
quelle
quelle
Antworten:
Aus numerischer Sicht ist es vielleicht am einfachsten, die Diskretisierungen direkt zu diskutieren.
quelle
Aussage: Für die periodische Lösung setzt die Bedingung ∫ρdv = 0 (oben von Ben beschrieben) das System auf netzneutral. Dies ist eine gute (physikalische) Möglichkeit, über den Durchschnittswert von f über die periodische Box nachzudenken.
Testen wir nun diese Aussage. Für periodische Randbedingungen muss das Integral des elektrischen Feldes über der Oberfläche der Box Null sein (Sie können immer Punktepaare auf der Boxoberfläche finden, die sich im Integral gegenseitig aufheben).
Dann sollte nach dem Divergenzsatz (Gauß-Gesetz) die Box neutral sein, und das wollen wir beweisen.
Ein bisschen Physik hier, aber ich denke, es ist eine schöne Verstärkung für die Diskussion hier.
quelle
Seien Sie vorsichtig, wenn Sie ein Verfahren zur Herstellung von Lösungen für die Poisson-Gleichung erstellen. Da die Definition des Quellterms sowohl die starke Form der PDE als auch die schwache Form der PDE erfüllen muss. Die oben angegebene Ableitung verwendet grundsätzlich die schwache Form der PDE. Mit anderen Worten, es gibt eine Beziehung zwischen dem Gradienten der Lösung an der Grenze und dem Quellterm Integral in der Domäne.
quelle