Kann ich diese zeitunabhängige PDE lösen, indem ich eine Zeitableitung hinzufüge und in der Zeit marschiere?

Ich möchte diese PDE lösen:

Derzeit habe ich einen Code, der automatisch PDE-Lösungen für ein sehr ähnliches PDE generiert, das eine Zeitableitung (partielles d / partielles t) unter Verwendung einer ADI-Methode enthält.

Ich frage mich, ob es eine Möglichkeit gibt, die angehängte PDE mit einer PDE zu approximieren, die eine Zeitableitung enthält.

Ich weiß, dass es Ansätze für eindimensionale PDES gibt. Wenn Sie beispielsweise im angehängten pde alle Y-Ableitungen entfernen, kann der pde approximiert werden, indem Sie die Zeitableitung addieren und den Diffusionsterm mit einer großen Zahl multiplizieren, indem Sie implizite Schritte ausführen und 1 Schritt verwenden.

Jede Hilfe wäre dankbar, danke, Rob

pde Phubaba
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Was ist die Domäne in Bezug auf Y und V? Wissen Sie, ob die PDE hyperbolisch, parabolisch oder elliptisch ist?

David Ketcheson

es ist ein parabolisches pde, die Domäne von V ist 0 bis unendlich, die Domäne von Y ist 0 bis unendlich. Dies ist eine Variation des in der Finanzliteratur populären Heston PDE.

Phubaba

Y = 0

$Y=0$

Y = \infty

$Y=\infty$

Antworten:

$f(u)=0$ $u$ $\frac{dv(t)}{dt}+f(v(t))=0$ $u = \lim_{t\rightarrow \infty} v(t)$

Es ist sicher wahr, dass eine stationäre Lösung der zeitabhängigen Gleichung ist. $v_1(t)=u$
Es ist jedoch nicht klar, ob es sich um eine stabile Lösung handelt. Dies ist wichtig, denn wenn Sie mit , dann ist nur dann, wenn eine stabile Lösung der Gleichung ist. Mit anderen Worten, ohne die Stabilität von können Sie nicht erwarten, dass das pseudozeitabhängige Problem zur Lösung des ursprünglichen zeitunabhängigen Problems konvergiert. $v_2(t) \neq u$ $v_2(t) \rightarrow v_1(t)=u$ $v_1(t)$ $v_1(t)$
Dass die Stabilität nicht automatisch garantiert wird, ist leicht zu erkennen. Betrachten Sie zum Beispiel die Gleichung . Sie können die Lösung dafür finden, indem Sie die Wärmegleichung lösen . Aber wenn Sie mit (was natürlich genau die gleiche Lösung hat), hätten Sie die Lösung nicht durch Lösen von da diese Gleichung im Allgemeinen keine Lösung hat. $f(u)=-\Delta u-h=0$ $\frac{dv(t)}{dt}-\Delta v(t)=h$ $\tilde f(\tilde u)=\Delta \tilde u+h=0$ $\frac{d\tilde v(t)}{dt}+\Delta \tilde v(t)=-h$

Wolfgang Bangerth
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Gotcha, also abhängig von den Koeffizienten in meinem PDE, wenn die Zeit zunimmt, und abhängig von meinen Endbedingungen, werde ich nicht die richtige Lösung erreichen. Könnte ich dann die Stabilität des PDE testen, indem ich verschiedene Anschlussbedingungen vorschreibe und sehe, ob ich Stabilität erreiche oder nicht?

Phubaba

Meinen Sie Anfangsbedingungen , wenn Sie über Terminalbedingungen sprechen ? Wenn Sie die Zeit vorwärts gehen, können Sie nur Anfangsbedingungen vorschreiben und Endwerte beobachten .

Wolfgang Bangerth