Ableiten der Fourier-Transformation von Cosinus und Sinus

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In dieser Antwort schreibt Jim Clay:

... benutze die Tatsache, dass F{cos(x)}=δ(w1)+δ(w+1)2 ...

Der obige Ausdruck unterscheidet sich nicht zu sehr von F{cos(2πf0t)}=12(δ(ff0)+δ(f+f0)).

Ich habe versucht, den späteren Ausdruck unter Verwendung der Standarddefinition der Fourier-Transformation X(f)=+x(t)ej2πftdt aber alles, was ich am Ende habe, ist ein Ausdruck so anders als das, was anscheinend die Antwort ist.

Hier ist meine Arbeit:

x(t)=cos(2πf0t)F{x(t)}=+cos(2πf0t)ej2πftdt=+12(ej2πf0t+ej2πf0t)ej2πftdt=12+(ej2πf0tej2πft+ej2πf0tej2πft)dt=12+(ej2πt(f0+f)+ej2πt(ff0))dt=12(+(ej2πt(f0+f))dt++(ej2πt(ff0)))dt

Hier stecke ich fest.

Pyler
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Antworten:

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Ihre Arbeit ist in Ordnung, mit Ausnahme des Problems, dass die Fourier-Transformation von nicht im üblichen Sinne einer Funktion von f existiert , und wir müssen den Begriff um sogenannte Verteilungen oder Impulse erweitern , oder Dirac-Deltas oder (wie wir Ingenieure es gewohnt sind, sehr zum Ekel der Mathematiker) Delta- Funktionen. Lesen Sie die Bedingungen, die erfüllt sein müssen, damit die Fourier-Transformation X ( f ) des Signals x ( t ) existiert (im üblichen Sinne), und Sie werden sehen, dass coscos(2πf0t)fX.(f)x(t) hat keine Fourier-Transformation im üblichen Sinne.cos(2πf0t)

Wenden wir uns Ihrer spezifischen Frage zu, sobald Sie verstehen, dass Impulse nur in Bezug auf ihr Verhalten als Integranden in einem Integral definiert sind , dh für , b a δ ( x - x 0 ) g ( x )ein<x0<b vorausgesetzt, dass g ( x ) bei x 0 stetig ist, ist es einfacher,die Fourier-Transformation von cos ( 2 π f 0 t ) = 1 abzuleiten

einbδ(x- -x0)G(x)dx=G(x0)
G(x)x0 durch Nachdenken über die Tatsache, dass - δ(f-f0)ej2πft
cos(2πf0t)=12[ej2πf0t+e- -j2πf0t]]
und so muss es sein, dass cos ( 2 π f 0 t ) dieinverse Fourier-Transformation von 1 ist
- -δ(f- -f0)ej2πftdf=ej2πf0t
cos(2πf0t)12[δ(f- -f0)+δ(f+f0)]]
Dilip Sarwate
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Verwenden Sie dann einfach eine Tabelle mit Fourier-Transformationspaaren, um dies zu sehenδ(t)1und variable Substitution (f1=f+f0 und f2=f- -f0), um zu bekommen, was Sie brauchen.

Peter K.
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Was natürlich die Frage aufwirft, wie die Person, die den Tisch aufgeschrieben hat, auf die Antwort in der Tabelle gekommen ist.
Dilip Sarwate
@ DilipSarwate :-) Jetzt stellst du eine viel, viel schwierigere Frage. :-)
Peter K.
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In meiner Antwort finden Sie eine Version der Antwort auf die viel schwierigere Frage, die bei diesem Stapelaustausch auftreten könnte, wenn nicht bei math.SE!
Dilip Sarwate
@ DilipSarwate: Du hast schon meine +1. Danke, schöne Antwort. Einverstanden, dass die Jungs von math.SE entsetzt wären. Das ist in Ordnung, wir sind Ingenieure. :-)
Peter K.