Fourier-Transformation 4-mal = ursprüngliche Funktion (aus dem Bracewell-Buch)

Ich habe "The Fourier Transform & Its Applications" von Ronald Bracewell durchgesehen, ein gutes Intro-Buch über Fourier-Transformationen. Darin sagt er, dass Sie, wenn Sie die FT einer Funktion viermal nehmen, die ursprüngliche Funktion zurückerhalten, dh

$$F\left( F\left( F\left( F\left( g(x) \right) \right) \right) \right) = g(x)\,.$$

Könnte mir bitte jemand zeigen, wie das möglich ist? Ich gehe davon aus, dass die obige Aussage für komplexes x gilt und dies etwas mit , , , , zu tun hat ?$i^0=1$$i^1=i$$i^2=-1$$i^3 = -i$$i^4=1$

Vielen Dank für Ihre Erleuchtung.

Ich werde die nicht-einheitliche Fourier-Transformation verwenden (aber das ist nicht wichtig, es ist nur eine Präferenz):

$$X(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-i\omega t}dt\tag{1}$$

$$x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}X(\omega)e^{i\omega t}d\omega\tag{2}$$

wobei (1) die Fourier-Transformation ist und (2) die inverse Fourier-Transformation ist.

Wenn Sie nun formal die Fourier-Transformation von Sie$X(\omega)$

$$\mathcal{F}\{X(\omega)\}=\mathcal{F}^2\{x(t)\}=\int_{-\infty}^{\infty}X(\omega)e^{-i\omega t}d\omega\tag{3}$$

Wenn wir (3) mit (2) vergleichen, haben wir

$$\mathcal{F}^2\{x(t)\}=2\pi x(-t)\tag{4}$$

Die Fourier-Transformation entspricht also einer inversen Fourier-Transformation mit einem Vorzeichenwechsel der unabhängigen Variablen (abgesehen von einem Skalierungsfaktor aufgrund der Verwendung der nicht einheitlichen Fourier-Transformation).

Da die Fourier-Transformation von gleich , ist die Fourier-Transformation von (4)$x(-t)$$X(-\omega)$

$$\mathcal{F}^3\{x(t)\}=2\pi X(-\omega)\tag{5}$$

Und durch ein Argument ähnlich dem in (3) und (4) verwendeten ist die Fourier-Transformation von gleich . Wir erhalten also für die Fourier-Transformation von (5)$X(-\omega)$$2\pi x(t)$

$$\mathcal{F}^4\{x(t)\}=2\pi\mathcal{F}\{X(-\omega)\}=(2\pi)^2x(t)\tag{6}$$

Welches ist das gewünschte Ergebnis. Es ist zu beachten, dass der Faktor in (6) eine Folge der Verwendung der nicht einheitlichen Fourier-Transformation ist. Wenn Sie die einheitliche Fourier-Transformation verwenden (wobei sowohl die Transformation als auch ihre Inverse einen Faktor ), verschwindet dieser Faktor.$(2\pi)^2$$1/\sqrt{2\pi}$

In der Summe erhalten Sie, abgesehen von irrelevanten konstanten Faktoren

$$x(t)\overset{\mathcal{F}}{\Longrightarrow} X(\omega)\overset{\mathcal{F}}{\Longrightarrow} x(-t)\overset{\mathcal{F}}{\Longrightarrow} X(-\omega)\overset{\mathcal{F}}{\Longrightarrow} x(t)$$