Fourier-Transformation 4-mal = ursprüngliche Funktion (aus dem Bracewell-Buch)

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Ich habe "The Fourier Transform & Its Applications" von Ronald Bracewell durchgesehen, ein gutes Intro-Buch über Fourier-Transformationen. Darin sagt er, dass Sie, wenn Sie die FT einer Funktion viermal nehmen, die ursprüngliche Funktion zurückerhalten, dh

F.(F.(F.(F.(G(x)))))=G(x).

Könnte mir bitte jemand zeigen, wie das möglich ist? Ich gehe davon aus, dass die obige Aussage für komplexes x gilt und dies etwas mit , , , , zu tun hat ?ich0=1ich1=ichich2=- -1ich3=- -ichich4=1

Vielen Dank für Ihre Erleuchtung.

Sambajetson
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"Entspricht der Zeitumkehrung" - das brachte mich zum Nachdenken. Wenn Sie die Fourier-Transformation der Wellenfunktion eines Teilchens haben, würde die inverse Fourier-Transformation Ihnen die Wellenfunktion des Antiteilchens geben?
Bart Wisialowski

Antworten:

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Ich werde die nicht-einheitliche Fourier-Transformation verwenden (aber das ist nicht wichtig, es ist nur eine Präferenz):

(1)X.(ω)=- -x(t)e- -ichωtdt

(2)x(t)=12π- -X.(ω)eichωtdω

wobei (1) die Fourier-Transformation ist und (2) die inverse Fourier-Transformation ist.

Wenn Sie nun formal die Fourier-Transformation von SieX.(ω)

(3)F.{X.(ω)}}=F.2{x(t)}}=- -X.(ω)e- -ichωtdω

Wenn wir (3) mit (2) vergleichen, haben wir

(4)F.2{x(t)}}=2πx(- -t)

Die Fourier-Transformation entspricht also einer inversen Fourier-Transformation mit einem Vorzeichenwechsel der unabhängigen Variablen (abgesehen von einem Skalierungsfaktor aufgrund der Verwendung der nicht einheitlichen Fourier-Transformation).

Da die Fourier-Transformation von gleich , ist die Fourier-Transformation von (4)x(- -t)X.(- -ω)

(5)F.3{x(t)}}=2πX.(- -ω)

Und durch ein Argument ähnlich dem in (3) und (4) verwendeten ist die Fourier-Transformation von gleich . Wir erhalten also für die Fourier-Transformation von (5)X.(- -ω)2πx(t)

(6)F.4{x(t)}}=2πF.{X.(- -ω)}}=(2π)2x(t)

Welches ist das gewünschte Ergebnis. Es ist zu beachten, dass der Faktor in (6) eine Folge der Verwendung der nicht einheitlichen Fourier-Transformation ist. Wenn Sie die einheitliche Fourier-Transformation verwenden (wobei sowohl die Transformation als auch ihre Inverse einen Faktor ), verschwindet dieser Faktor.(2π)21/.2π

In der Summe erhalten Sie, abgesehen von irrelevanten konstanten Faktoren

x(t)F.X.(ω)F.x(- -t)F.X.(- -ω)F.x(t)
Matt L.
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Tatsächlich schlägt eine fantastische Idee vor, wie man einen Verstärker entwerfen kann, der die Berechnung in Amplitudenverstärkung umwandelt: Nehmen Sie einfach die nicht einheitliche Fourier-Transformation von viermal, um das Signal um den Faktor 39 oder so zu verstärken (oder 31 dB Verstärkung)! (6)x(t)
Dilip Sarwate
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@ DilipSarwate: Wie kann ich das verpasst haben! Ich würde einen Patentanwalt kontaktieren, bevor jemand hier diese brillante Idee stiehlt!
Matt L.
Der Einheitsfaktor sollte , der im letzten Absatz falsch eingegeben wurde. 12π
Mbaitoff
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Zu spät! Es wurde bereits ein Patent für ein noch besseres Verfahren erteilt (Verwendung von FFT zur Reduzierung der Gesamtberechnung von auf anstelle einer einfachen Vanille-Fourier-Transformation). 4N.24N.LogN.
Dilip Sarwate
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Ich habe diese Frage oder Antwort noch nie gesehen. Ich würde sagen, dass "konstante Faktoren" nicht "irrelevant" sind . Aus diesem Grund würde ich die Einheits-Fourier-Transformation empfehlen.
Robert Bristow-Johnson