Was ist der Unterschied zwischen der Gabor-Morlet-Wavelet-Transformation und der Konstant-Q-Transformation?

Auf den ersten Blick scheinen die Konstant-Q-Fourier-Transformation und die komplexe Gabor-Morlet-Wavelet- Transformation gleich zu sein. Beides sind Zeit-Frequenz-Darstellungen, die auf Filtern mit konstantem Q, Sinuskurven mit Fenstern usw. basieren. Aber vielleicht fehlt mir ein Unterschied?

Die Constant-Q Transform Toolbox für die Musikverarbeitung lautet:

CQT bezieht sich auf eine Zeit-Frequenz-Darstellung, bei der die Frequenzbereiche geometrisch beabstandet sind und die Q-Faktoren (Verhältnisse der Mittenfrequenzen zu Bandbreiten) aller Bereiche gleich sind.

Die Zeitskalenanalyse sagt:

Das heißt, die Berechnung der CWT eines Signals , das unter Verwendung von Morlet Wavelet das gleiche wie Passieren des Signals durch eine Reihe von Bandpaßfiltern ist zentriert bei $f = \frac{5/2\pi}{a}$ mit konstantem Q von$5/2\pi$.

Einfach ausgedrückt sind sowohl die const-Q-Transformation als auch die Gabor-Morlet-Wavelet-Transformation nur kontinuierliche Wavelet-Transformationen. Oder genauer gesagt, Annäherungen davon, da es in realen Anwendungen immer Diskretisierungsprobleme geben wird.

Eine Eigenschaft von Wavelet-Transformationen besteht darin, dass sie die konstante Q-Faktor-Eigenschaft oder mit anderen Worten die logarithmische Skalierung eingebaut haben. Gabor und Morlet sind nur zwei Namen einer bestimmten Wavelet-Funktion (komplexe Exponentiale mit einem Gaußschen Fenster), die am häufigsten verwendet wird. Die CQ-Transformation verwendet nur eine andere Basisfunktion / ein anderes Wavelet und hat einen speziellen Namen, wahrscheinlich aus einem historischen Grund.

Es ist wichtig zu beachten, dass die verschiedenen entwickelten Wavelets unterschiedliche Zerlegungen der Signale bieten, mit denen sie untersucht werden. Bestimmte Wavelets werden ausgewählt, um bestimmte Signalmerkmale auf bestimmte Weise aufzudecken. Wenn Sie Wavelet-Koeffizienten berechnen, führen Sie eine Korrelation des ausgewählten Wavelets mit dem interessierenden Signal durch. Somit bestimmt die Form des Wavelets die Form der aufgedeckten Signalmerkmale.

Einige Wavelet-Funktionen wurden "entworfen", um Zerlegungen bereitzustellen, die sich auf Fourier-Zerlegungen beziehen können (tatsächlich eher im Einklang mit kurzfristigen Fourier-Zerlegungen, die zur Erzeugung von Spektrogrammen von Signalen verwendet werden). Das Morlet-Wavelet ist ein gutes Beispiel für eine solche Wavelet-Funktion. Andere Wavelets wurden "entworfen", um Diskontinuitäten oder Kanten von Signalen zu identifizieren. Ich habe Papiere gesehen, die Daubechies Wevelet-Funktionen dafür verwenden.

Es kann hilfreich sein, einige Nachforschungen anzustellen, um festzustellen, wie jede der von Ihnen erwähnten Wavelet-Funktionen in der Praxis verwendet wird. Ich denke, dies gibt Ihnen ein besseres Verständnis dafür, wie sich verschiedene Wavelets unterscheiden.

Die konstante Q-Transformation ist keine Wavelet-Transformation. Die konstante Q-Transformation ist eine besondere Variation der kurzfristigen Fourier-Transformation, bei der die Frequenzbereiche exponentiell statt linear beabstandet sind, wie dies bei der diskreten Fourier-Transformation der Fall ist.

Weitere Informationen finden Sie unter: http://en.wikipedia.org/wiki/Constant_Q_transform .

Einige Wavelet-Transformationen werden auch als konstante Q-Transformationen betrachtet, da in den diskreten Versionen der Transformationen die Skala des Wavelets exponentiell variiert wird (Basis ist in diesem Fall 2). Laut dem folgenden Artikel der Stanford University ( https://ccrma.stanford.edu/~jos/sasp/Continuous_Wavelet_Transform.html ):

Wenn das Mutter-Wavelet als Sinuskurve mit Fenster interpretiert werden kann (wie das Morlet-Wavelet), kann die Wavelet-Transformation als Konstant-Q-Fourier-Transformation interpretiert werden.12.5Vor der Theorie der Wavelets werden Konstant-Q-Fourier-Transformationen (wie z. B. erhalten von Eine klassische Filterbank mit dritter Oktave war nicht einfach zu invertieren, da die Basissignale nicht orthogonal waren. Siehe Anhang E für verwandte Diskussionen.