Annähern

Ich las beiläufig einen Artikel (in Wirtschaftswissenschaften), der die folgende Annäherung für :$\log(E(X))$

,$\log(E(X)) \approx E(\log(X))+0.5 \mathrm{var}(\log(X))$

Was der Autor sagt, ist genau, wenn X logarithmisch normal ist (was ich weiß).

Was ich nicht weiß, ist, wie ich diese Annäherung ableiten kann. Ich habe versucht, eine Taylor-Näherung zweiter Ordnung zu berechnen, und alles, was ich mir ausgedacht habe, ist dieser Ausdruck:

$\log(E(X)) \approx E(\log(X))+0.5\frac{\mathrm{var}(X)}{E(X)^2}$

Nach der Delta-Methode ist die Varianz einer Funktion eines RV ungefähr gleich der Varianz des RV multipliziert mit der im Mittelwert bewerteten quadratischen Ableitung. Daher

$$\mathrm{var}(\log(X)) \approx \frac{1}{ \left[E(X)\right] ^2 } \mathrm{var}(X)$$

und da hast du es. Ihre Ableitung war natürlich richtig.