Erwarteter Wert von iid-Zufallsvariablen

Ich bin auf diese Ableitung die ich nicht verstehe: Wenn Zufallsstichproben der Größe n sind, die aus einer Population von Mittelwert und Varianz entnommen wurden , dann$X_1, X_2, ..., X_n$$\mu$$\sigma^2$

$\bar{X} = (X_1 + X_2 + ... + X_n)/n$

$E(\bar{X}) = E(X_1 + X_2 + ... + X_n)/n = (1/n)(E(X_1) + E(X_2) + ... + E(X_n))$

$E(\bar{X}) = (1/n)(\mu + \mu + ...n ~\text{times}) = \mu$

Hier bin ich verloren. Das verwendete Argument ist da sie identisch verteilt sind. In Wirklichkeit ist das nicht wahr. Angenommen, ich habe eine Stichprobe, Wenn ich dann zufällig 2 Zahlen mit Ersetzung auswähle und diesen Vorgang 10 Mal wiederhole, erhalte ich 10 Stichproben: (5, 4) (2, 5) (1, 2) (4, 1) (4, 6) (2, 4) (6, 1) (2, 4) (3, 1) (5, 1). So sieht es für 2 Zufallsvariablen . Wenn ich nun den Erwartungswert von nehme, bekomme ich:$E(X_i) = \mu$$S=\{1,2,3,4,5,6\}$$X_1, X_2$$X_1$

$E(X_1) = 1.(1/10) + 2.(3/10) + 3.(1/10) + 4.(2/10) + 5.(2/10) + 6.(1/10) = 34/10 = 3.4$

Der erwartete Wert der Bevölkerung beträgt jedoch 3,5. Was ist eigentlich falsch in meiner Argumentation?

Erstens sind keine Stichproben. Dies sind Zufallsvariablen, auf die Tim hingewiesen hat. Angenommen, Sie führen ein Experiment durch, bei dem Sie die Wassermenge in einem Lebensmittel schätzen. Dazu nehmen Sie beispielsweise 100 Messungen des Wassergehalts für 100 verschiedene Lebensmittel. Jedes Mal, wenn Sie einen Wert für den Wassergehalt erhalten. Hier ist der Wassergehalt zufällig variabel und nun nehmen wir an, dass es insgesamt 1000 Lebensmittel auf der Welt gibt. 100 verschiedene Lebensmittel werden als Probe dieser 1000 Lebensmittel bezeichnet. Beachten Sie, dass der Wassergehalt die Zufallsvariable ist und 100 Werte des erhaltenen Wassergehalts eine Probe ergeben. $X_1, X_2,...,X_n$

Angenommen, Sie wählen zufällig n Werte aus einer Wahrscheinlichkeitsverteilung unabhängig und identisch aus. Es ist gegeben, dass . Jetzt müssen Sie den erwarteten Wert von herausfinden . Da jeder unabhängig ist und identisch abgetastet, Erwartungswert jedes der ist . Daher erhalten Sie .ˉ X X i X i μ n $E(X)=\mu$$\bar{X}$$X_i$$X_i$$\mu$$\frac{n\mu}{n} =\mu$

Die dritte Gleichung in Ihrer Frage ist die Bedingung, dass ein Schätzer ein unvoreingenommener Schätzer des Populationsparameters ist. Die Bedingung, dass ein Schätzer unvoreingenommen ist, ist

Dabei ist Theta der Populationsparameter und der durch die Stichprobe geschätzte Parameter.$\bar{\theta}$

In Ihrem Beispiel ist Ihre Bevölkerung und Sie haben eine Stichprobe von iid-Werten erhalten, die . Die Frage ist, wie würden Sie den Bevölkerungsdurchschnitt bei dieser Stichprobe schätzen. Gemäß der obigen Formel ist der Durchschnitt der Stichprobe ein unvoreingenommener Schätzer des Populationsmittelwerts. Der unverzerrte Schätzer muss nicht dem tatsächlichen Mittelwert entsprechen, liegt jedoch so nahe am Mittelwert, wie Sie diese Informationen erhalten können.10 { 5 , 2 , 1 , 4 , 4 , 2 , 6 , 2 , 3 , 5 $\{1,2,3,4,5,6\}$$10$$\{5,2,1,4,4,2,6,2,3,5\}$