Ich bin fasziniert von einer Frage bei math.stackexchange und untersuche sie empirisch. Ich wundere mich über die folgende Aussage über die Quadratwurzel von Summen von iid-Zufallsvariablen.
Angenommen, sind iid Zufallsvariablen mit einem endlichen Mittelwert ungleich Null und Varianz und . Der zentrale Grenzwertsatz besagt wenn zunimmt. μ σ 2 Y = n ∑ i = 1 X i Y - n μn
Wenn , kann ich auch so etwas wie sagen wenn zunimmt?Z - √n
Angenommen, die sind Bernoulli mit dem Mittelwert und der Varianz , dann ist binomial und ich kann dies in R simulieren, beispielsweise mit : p p ( 1 - p ) Y p = 1
set.seed(1)
cases <- 100000
n <- 1000
p <- 1/3
Y <- rbinom(cases, size=n, prob=p)
Z <- sqrt(abs(Y))
Dies ergibt ungefähr den erhofften Mittelwert und die erhoffte Varianz für
> c(mean(Z), sqrt(n*p - (1-p)/4))
[1] 18.25229 18.25285
> c(var(Z), (1-p)/4)
[1] 0.1680012 0.1666667
und ein QQ-Diagramm, das Gauß nahe kommt
qqnorm(Z)
Antworten:
Die Konvergenz zu einem Gaußschen ist in der Tat ein allgemeines Phänomen.
Angenommen, sind IID-Zufallsvariablen mit dem Mittelwert und der Varianz , und definieren Sie die Summen . Fixiere eine Zahl . Der übliche zentrale Grenzwertsatz besagt, dass als , wobei ist das standard normale cdf. Die Kontinuität des einschränkenden cdf impliziert jedoch, dass wir auchX1,X2,X3,... μ>0 σ2 Yn=∑ni=1Xi α P(Yn−nμσn√≤α)→Φ(α) n→∞ Φ
Wenn wir Quadratwurzeln ziehen und feststellen, dass impliziert, dass , erhalten wir Mit anderen Worten, . Dieses Ergebnis zeigt die Konvergenz zu einem Gaußschen im Grenzwert als .μ>0 P(Yn<0)→0
Bedeutet dies, dass eine gute Annäherung an für großes ? Nun, wir können es besser machen. Wie @Henry bemerkt, können wir unter der Annahme, dass alles positiv ist, zusammen mit und die Approximation , um die verbesserte Approximation wie in der obigen Frage angegeben. Beachten Sie auch, dass wir immer noch weilnμ−−−√ E[|Yn|−−−√] n E[Yn−−√]=E[Yn]−Var(Yn−−√)−−−−−−−−−−−−−−−√ E[Yn]=nμ Var(Yn−−√)≈σ24μ E[|Yn|−−−√]≈nμ−σ24μ−−−−−−−√
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