Vollständige Statistik für

Ich würde gerne wissen, ob die Statistik vollständig ist für in einer -Einstellung. σ2N(μ,σ2

$$T(X_1,\ldots,X_n)=\frac{\sum_{i=1}^n (X_i-\bar{X}_n)^2}{n-1}$$ $\sigma^2$$N(\mu,\sigma^2)$

Hängt dies davon ab, ob zuvor bekannt ist oder nicht? Wenn für vollständig ist , dann ist es von Lehmann-Scheffé UMVUE . Aber wenn bekannt wäre, hätten wir dessen Varianz gleich der ist Cramer-Rao band und ist streng kleiner als , so dass nicht UMVUE sein konnte.T σ $\mu$$T$$\sigma^2$$\mu$2σ4/n2σ4/(n-1)=Var[T]

$$W(X_1,\ldots,X_n)=\frac{\sum_{i=1}^n (X_i-\mu)^2}{n},$$ $2\sigma^4/n$$2\sigma^4/(n-1)=\text{Var}[T]$$T$

Ich glaube, ich habe meine eigene Frage gelöst. Kommentare zu dieser Antwort und neue Antworten sind willkommen.

Wenn sind Beobachtungen in einem Bevölkerung und ist unbekannt , dann (dies zeigt, dass die normale Familie ist eine exponentielle Familie). Als Bild der Karte enthält eine offene Menge von nach einem Satz (siehe z. B. Seite 6 hier ), der Statistik N ( μ , σ 2 ) μ f ( x 1 , … , x n | μ , σ 2 ) = ( $x_1,\ldots,x_n$$N(\mu,\sigma^2)$$\mu$ (μ,σ2)∈R×R+↦(

$$f(x_1,\ldots,x_n|\mu,\sigma^2)=\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\right)^ne^{-\frac{n\mu^2}{2\sigma^2}}e^{\frac{\mu}{\sigma^2}\sum_{i=1}^nx_i-\frac{1}{2\sigma^2}\sum_{i=1}^n x_i^2}$$ $$(\mu,\sigma^2)\in \mathbb{R}\times\mathbb{R}^+\mapsto (\frac{\mu}{\sigma^2},-\frac{1}{2\sigma^2})$$ $\mathbb{R}^2$$U=(\sum_{i=1}^n X_i,\sum_{i=1}^n X_i^2)$ist ausreichend und vollständig für . Da eine Funktion von und für zentriert ist , ist von Lehmann-Scheffé UMVUE für .$(\mu,\sigma^2)$$T$$U$$\sigma^2$$T$$\sigma^2$

Nun, wenn ist bekannt , nicht gehören in den Parameterraum mehr, deshalb ist die "neue" Dichtefunktion (wir haben eine neue exponentielle Familie). Da das Bild der Karte eine offene Teilmenge von , ist unsere Statistik ausreichend und vervollständigen für . Da es zusätzlich zentriert ist, ist UMVUE für von Lehmann-Scheffé.$\mu=\mu_0$$\mu$

$$f(x_1,\ldots,x_n|\sigma^2)=\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\right)^ne^{-\frac{1}{2\sigma^2}\sum_{i=1}^n(x_i-\mu_0)^2}$$ $$\sigma^2\in\mathbb{R}^+\mapsto -\frac{1}{2\sigma^2}$$ $\mathbb{R}$$W$$\sigma^2$$W$$\sigma^2$

In Ihrer Statistik wird als Schätzung von . Wenn Sie den wahren Wert von , ist der Schätzer der Varianz vorzuziehen. ist neutral und hat eine niedrigere Varianz als . So wird in der Umgebung , wo bekannt ist, verwenden .ˉ X μ μ W ( X 1 , … , X n ) W T μ $T(X_{1},\ldots,X_{n})$$\bar{X}$$\mu$$\mu$$W(X_{1},\ldots,X_{n})$$W$$T$$\mu$$W$