Moment / mgf Kosinus der Richtungsvektoren?

Kann jemand vorschlagen, wie ich das zweite Moment (oder die gesamte Momenterzeugungsfunktion) des Kosinus von zwei Gaußschen Zufallsvektoren berechnen kann, die jeweils als unabhängig voneinander verteilt sind? IE, Moment für die folgende Zufallsvariable$x,y$$\mathcal N (0,\Sigma)$

Die nächste Frage ist die Momenterzeugungsfunktion des inneren Produkts zweier Gaußscher Zufallsvektoren, die MGF für das innere Produkt ableitet. Es gibt auch diese Antwort von mathoverflow, die diese Frage mit der Verteilung von Eigenwerten von Stichproben-Kovarianzmatrizen verknüpft, aber ich sehe nicht sofort, wie man diese verwendet, um den zweiten Moment zu berechnen.

Ich vermute, dass der zweite Moment proportional zur halben Norm der Eigenwerte von \ Sigma skaliert, $\Sigma$da ich dieses Ergebnis durch algebraische Manipulation für 2 Dimensionen und auch für 3 Dimensionen durch Erraten und Prüfen erhalte. Für die Eigenwerte $a,b,c$ die sich zu 1 addieren, ist der zweite Moment:

Verwenden Sie Folgendes zur numerischen Überprüfung

val1[a_, b_, c_] := (a + b + c)/(Sqrt[a] + Sqrt[b] + Sqrt[c])^2
val2[a_, b_, c_] := Block[{},
  x := {x1, x2, x3};
  y := {y1, y2, y3};
  normal := MultinormalDistribution[{0, 0, 0}, ( {
      {a, 0, 0},
      {0, b, 0},
      {0, 0, c}
     } )];
  vars := {x \[Distributed] normal, y \[Distributed] normal};
  NExpectation[(x.y/(Norm[x] Norm[y]))^2, vars]]

  val1[1.5,2.5,3.5] - val2[1.5,2.5,3.5]

Überprüfen der Formel auf 4 Variablen (innerhalb numerischer Grenzen):

val1[a_, b_, c_, 
  d_] := (a + b + c + d)/(Sqrt[a] + Sqrt[b] + Sqrt[c] + Sqrt[d])^2
val2[a_, b_, c_, d_] := Block[{},
  x := {x1, x2, x3, x4};
  y := {y1, y2, y3, y4};
  normal := 
   MultinormalDistribution[{0, 0, 0, 
     0}, {{a, 0, 0, 0}, {0, b, 0, 0}, {0, 0, c, 0}, {0, 0, 0, d}}];
  vars := {x \[Distributed] normal, y \[Distributed] normal};
  NExpectation[(x.y/(Norm[x] Norm[y]))^2, vars]]

val1[0.5, 1.5, 2.5, 3.5] - val2[0.5, 1.5, 2.5, 3.5]

Hey Yaroslav, du musst dich wirklich nicht beeilen, meine Antwort auf MO anzunehmen und bist mehr als willkommen, weitere Details zu fragen :).

Da Sie die Frage in 3-dim umformulieren, kann ich genau sehen, was Sie tun möchten. In MO post dachte ich, Sie müssen nur den größten Kosinus zwischen zwei Zufallsvariablen berechnen. Jetzt scheint das Problem schwieriger zu sein.

Zuerst berechnen wir den normalisierten Gaußschen , was kein trivialer Job ist, da er tatsächlich den Namen "projizierte Normalverteilung" hat, da wir die multivariate Normaldichte in Bezug auf ihre umschreiben können Polarkoordinate . Und die Grenzdichte für kann in$\frac{X}{\|X\|}$$X$$(\|X\|,\frac{X}{\|X\|})=(r,\boldsymbol{\theta})$$\boldsymbol{\theta}$

Ein wichtiger Fall ist der, in dem eine bivariate Normalverteilung , in dem eine projizierte Normalen ( oder Winkel-Gaußsche oder versetzte Normalen ) haben soll. Verteilung. [Mardia & Peter] S.46$x$$N_2(\mu,\Sigma)$$\|x\|^{-1}x$

In diesem Schritt können wir Verteilungen für und damit deren Gelenkdichte erhalten aufgrund der Unabhängigkeit. Bezüglich einer konkreten Dichtefunktion der projizierten Normalverteilung siehe [Mardia & Peter], Kapitel 10. oder [2] Gleichung (4) oder [1]. (Beachten Sie, dass sie in [2] auch eine spezielle Form der Kovarianzmatrix annehmen )$\mathcal{PN}_{k}$$\frac{X}{\|X\|}\perp\frac{Y}{\|Y\|}$$(\frac{X}{\|X\|},\frac{Y}{\|Y\|})$$\Sigma=\left(\begin{array}{cc} \Gamma & \gamma\\ \gamma' & 1 \end{array}\right)$

Zweitens, da wir bereits ihre Gelenkdichte erhalten haben, kann ihr inneres Produkt leicht unter Verwendung der Transformationsformel . Siehe auch [3].

Solange wir die Dichte berechnet haben, ist der zweite Moment nur ein Problem der Integration.

Referenz

[Mardia & Peter] Mardia, Kanti V. und Peter E. Jupp. Richtungsstatistik. Vol. 494. John Wiley & Sons, 2009.

[1] Wang, Fangpo und Alan E. Gelfand. "Richtungsdatenanalyse unter der allgemein projizierten Normalverteilung." Statistical Methodology 10.1 (2013): 113-127.

[2] Hernandez-Stumpfhauser, Daniel, F. Jay Breidt und Mark J. van der Woerd. "Die allgemein projizierte Normalverteilung beliebiger Dimensionen: Modellierung und Bayes'sche Inferenz." Bayesianische Analyse (2016). https://projecteuclid.org/download/pdfview_1/euclid.ba/1453211962

[3] Momenterzeugungsfunktion des inneren Produkts zweier Gaußscher Zufallsvektoren