Ein PDF wird normalerweise als , wobei der Kleinbuchstabe als Realisierung oder Ergebnis der Zufallsvariablen die dieses PDF enthält. In ähnlicher Weise wird ein cdf als , was die Bedeutung . Unter bestimmten Umständen, wie der Definition der Bewertungsfunktion und dieser Ableitung, dass das cdf gleichmäßig verteilt ist , scheint es jedoch, dass die Zufallsvariable in ihr eigenes pdf / cdf eingefügt wird; Auf diese Weise erhalten wir eine neue Zufallsvariable oder . Ich glaube nicht, dass wir dies mehr als pdf oder cdf bezeichnen können, da es jetzt selbst eine Zufallsvariable ist, und im letzteren Fall scheint mir die "Interpretation" Unsinn zu sein.
Außerdem bin ich mir im letzteren Fall nicht sicher, ob ich die Aussage "das cdf einer Zufallsvariablen folgt einer gleichmäßigen Verteilung" verstehe. Das cdf ist eine Funktion, keine Zufallsvariable und hat daher keine Verteilung. Vielmehr hat eine gleichmäßige Verteilung die Zufallsvariable, die mit der Funktion transformiert wurde, die ihr eigenes cdf darstellt, aber ich verstehe nicht, warum diese Transformation sinnvoll ist. Gleiches gilt für die Score-Funktion, bei der eine Zufallsvariable in die Funktion eingefügt wird, die ihre eigene Log-Wahrscheinlichkeit darstellt.
Ich habe mir wochenlang den Kopf zerbrochen, um eine intuitive Bedeutung für diese Transformationen zu finden, aber ich stecke fest. Jeder Einblick wäre sehr dankbar!
Antworten:
Wie Sie sagen, ist jede (messbare) Funktion einer Zufallsvariablen selbst eine Zufallsvariable. Es ist einfacher, sich und F ( x ) als "irgendeine alte Funktion" vorzustellen. Sie haben einfach einige schöne Eigenschaften. Wenn X beispielsweise ein exponentielles Standard-RV ist, ist die Zufallsvariable Y = 1 - e - X nicht besonders seltsam. Es kommt einfach so vor, dass Y = F X ( X ) . Die Tatsache, dass Y eine gleichmäßige Verteilung hat (vorausgesetzt, dass X.f( x ) F.( x ) X.
Welches ist eindeutig die CDF einer Zufallsvariablen. Hinweis: In dieser Version des Beweises wird davon ausgegangen, dass F X ( x ) streng ansteigt und kontinuierlich ist, es ist jedoch nicht viel schwieriger, eine allgemeinere Version anzuzeigen.U(0,1) FX(x)
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Eine Transformation einer Zufallsvariablen durch eine messbare Funktion T : X ⟶ Y ist eine weitere Zufallsvariable Y = T ( X ), deren Verteilung durch die inverse Wahrscheinlichkeitstransformation P ( Y ∈ A ) = P ( X ∈ { x ;X. T.: X.⟶ Y. Y.= T.( X.)
für alle Mengen A, so dass { x ;
Diese Eigenschaft gilt für den Sonderfall, wenn das cdf der Zufallsvariablen ist. X : Y = F X ( X ) ist eine neue Zufallsvariable, die ihre Realisierungen in [ 0 , 1 ] übernimmt . Zufällig wird Y als einheitliches U ( [ 0 , 1 ] ) verteilt, wenn F X stetig ist. (Wenn F X.F.X.: X.⟶ [ 0 , 1 ] X. Y.= F.X.( X.) [ 0 , 1 ] Y. U.( [ 0 , 1 ] ) F.X. F.X. diskontinuierlich ist, ist der Bereich von nicht mehr [ 0 , 1 ] . Was immer der Fall ist, ist, dass wenn U ein einheitliches U ( [ 0 , 1 ] ) ist , F - X ( U ) die gleiche Verteilung wie X hat , wobei F - X die verallgemeinerte Umkehrung von F X bezeichnet . Dies ist ein formaler Weg, um (a) Zufallsvariablen als messbare Transformationen eines Fundamentals zu verstehenY.= F.X.( X.) [ 0 , 1 ] U. U.( [ 0 , 1 ] ) F.- -X.( U.) X. F.- -X. F.X. da X ( ω ) = F - X ( ω ) eine Zufallsvariable mit cdf F X ist und (b)Zufallsvariablenaus einer gegebenen Verteilung mit cdf F X erzeugt .)ω ∈ Ω X.( ω ) = F.- -X.( ω ) F.X. F.X.
Um das Paradoxon von zu verstehen , nehmen Sie die Darstellung F X ( x ) = P ( X ≤ x ) = ∫ x 0 d F X ( x ) = ∫ x 0 f X ( x )P (X.≤ X.) wenn d λ das dominierende Maß und f X die entsprechende Dichte ist. Dann ist
F X ( X ) = ∫ X 0 d F X ( x ) = ∫ X 0 f X ( x )
[Antwort eingegeben, während @whuber und @knrumsey ihre jeweiligen Antworten eingaben!]
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