Erwarteter Wert der Statistik der Mindestbestellmenge aus einer normalen Stichprobe

UPDATE 25. Januar 2014: Der Fehler wurde behoben. Bitte ignorieren Sie die berechneten Werte des erwarteten Werts im hochgeladenen Bild - sie sind falsch - ich lösche das Bild nicht, weil es eine Antwort auf diese Frage generiert hat.

UPDATE 10. Januar 2014: Der Fehler wurde gefunden - ein Tippfehler in einer der verwendeten Quellen. Korrektur vorbereiten ...

Die Dichte der Statistik minimaler Ordnung aus einer Sammlung von iid kontinuierlichen Zufallsvariablen mit cdf und pdf beträgt F X ( x ) f X ( x ) f X ( 1 ) ( x ( 1 ) ) = n f X ( x ( 1 ) ) [ 1 - F X ( x ( 1 ) ) ] n - $n$$F_X(x)$$f_X(x)$

$$f_{X_{(1)}}(x_{(1)}) = nf_X(x_{(1)})\left[1-F_X(x_{(1)})\right]^{n-1} \qquad [1]$$

Wenn diese Zufallsvariablen Standardnormal sind, dann

$$f_{X_{(1)}}(x_{(1)}) = n\phi(x_{(1)})\left[1-\Phi(x_{(1)})\right]^{n-1} = n\phi(x_{(1)})\left[\Phi(-x_{(1)})\right]^{n-1}\qquad [2]$$ und daher ist sein erwarteter Wert $$E\left(X_{(1)}\right) = n\int_{-\infty}^{\infty}x_{(1)}\phi(x_{(1)})\left[\Phi(-x_{(1)})\right]^{n-1}dx_{(1)}\qquad [3]$$

wo wir die symmetrischen Eigenschaften der Standardnormalen verwendet haben. In Owen 1980 , S.402, Gleichung [ n, 011 ] finden wir, dass

$$\int_{-\infty}^{\infty}z\phi(z)\left[\Phi(az)\right]^m dz= \frac {am}{(\sqrt {a^2+1})(\sqrt {2\pi})}\int_{-\infty}^{\infty}\phi(z)\left[\Phi\left(\frac {az}{\sqrt {a^2+1}}\right)\right]^{m-1}dz\qquad [4]$$

Übereinstimmende Parameter zwischen den Gleichungen und ( , ) erhalten wir$[3]$$[4]$$a=-1$$m=n-1$

$$E\left(X_{(1)}\right) = -\frac {n(n-1)}{2\sqrt{\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\phi(x_{(1)})\left[\Phi\left(\frac {-x_{(1)}}{\sqrt 2}\right)\right]^{n-2}dx_{(1)}\qquad [5]$$

Wieder in Owen 1980, p. 409, Gleichung [ n0,010.2 ] finden wir das

$$\int_{-\infty}^{\infty}\left[\prod_{i=1}^{m}\Phi\left(\frac{h_i-d_iz}{\sqrt {1-d_i^2}}\right)\right] \phi(z)dz= \mathcal Z_m(h_1,...,h_m;\{\rho_{ij}\})\qquad [6]$$

wobei die multivariate Standardnormalen ist, sind die paarweisen Korrelationskoeffizienten und .$\mathcal Z_m()$$\rho_{ij}=d_id_j,\; i\neq j$$-1\le d_i\le 1$

Wenn wir und übereinstimmen, haben wir , und $[5]$$[6]$$m=n-2$$h_i=0,\;\forall i$

$$\frac{d_i}{\sqrt {1-d_i^2}} = \frac 1{\sqrt 2} \Rightarrow d_i = \pm \frac 1{\sqrt 3} \forall i \Rightarrow \rho_{ij} = \rho = 1/3$$

Mit Hilfe dieser Ergebnisse, eq wird$[5]$

$$E\left(X_{(1)}\right) = -\frac {n(n-1)}{2\sqrt{\pi}}\mathcal Z_{n-2}(0,...,0;\rho=1/3)\qquad [7]$$

Dieses multivaririate Standard-Normalwahrscheinlichkeitsintegral von äquikorrelierten Variablen, die alle bei Null bewertet wurden , wurde ausreichend untersucht, und es wurden verschiedene Methoden zur Approximation und Berechnung abgeleitet. Eine ausführliche Übersicht (im Zusammenhang mit der Berechnung multivariater Normalwahrscheinlichkeitsintegrale im Allgemeinen) ist Gupta (1963) . Gupta bietet explizite Werte für verschiedene Korrelationskoeffizienten und für bis zu 12 Variablen (es deckt also eine Sammlung von 14 Variablen ab). Die Ergebnisse sind (DIE LETZTE SPALTE IST FALSCH) :

Wenn wir nun grafisch darstellen, wie sich der Wert von mit ändert , erhalten wir$\mathcal Z_{n-2}(0,...,0;\rho=1/3)$$n$

Ich komme also zu meinen drei Fragen / Wünschen:
1) Könnte jemand analytisch prüfen und / oder durch Simulation überprüfen, ob die Ergebnisse für den erwarteten Wert korrekt sind (dh die Gültigkeit von Gleichung prüfen )?$[7]$

2) Könnte jemand unter der Annahme, dass der Ansatz korrekt ist, die Lösung für Normalen mit einem Mittelwert ungleich Null und einer nicht einheitlichen Varianz geben? Bei all den Transformationen ist mir wirklich schwindelig.

3) Der Wert des Wahrscheinlichkeitsintegrals scheint sich reibungslos zu entwickeln. Wie wäre es mit einer Funktion von approximieren ?$n$

Ihre Ergebnisse erscheinen nicht korrekt. Dies ist ohne Berechnung leicht zu erkennen, da in Ihrer Tabelle Ihr mit der Stichprobengröße zunimmt . Es ist klar, dass der erwartete Wert des Stichprobenminimums kleiner werden muss (dh negativer werden muss), wenn die Stichprobengröße größer wird.$E[X_{(1)}]$ $n$$n$

Das Problem ist konzeptionell recht einfach.

Kurz gesagt: wenn ~ mit pdf :$X$$N(0,1)$$f(x)$

... dann lautet das PDF der Statistik 1. Ordnung (in einer Stichprobe der Größe ):$n$

... hier mit der OrderStatFunktion in erhalten mathStatica, mit Bereich der Unterstützung:

Dann kann für leicht genau erhalten werden als:$E[X_{(1)}]$$n = 1,2,3$

Der genaue Fall ist ungefähr , was sich offensichtlich von Ihrer Arbeitsweise von -1,06 (Zeile 1 Ihrer Tabelle) unterscheidet. Es scheint also klar zu sein, dass etwas mit Ihrer Arbeitsweise nicht stimmt (oder vielleicht mein Verständnis dessen, was Sie suchen). .$n = 3$$-0.846284$

Für ist es schwieriger, Lösungen in geschlossener Form zu erhalten, aber selbst wenn sich die symbolische Integration als schwierig erweist, können wir die numerische Integration immer verwenden (auf Wunsch mit beliebiger Genauigkeit). Das ist wirklich sehr einfach ... hier ist zum Beispiel für die Stichprobengröße bis 14 unter Verwendung von Mathematica :$n \ge 4$$E[X_{(1)}]$$n = 1$

 sol = Table[NIntegrate[x g, {x, -Infinity, Infinity}], {n, 1, 14}]

{0, -0,56419, -0,846284, -1,02938, -1,16296, -1,26721, -1,35218, -1,4236, -1,48501, -1,53875, -1,58644, -1,62923, -1,66799, -1,70338}

Alles erledigt. Diese Werte unterscheiden sich offensichtlich stark von denen in Ihrer Tabelle (rechte Spalte).

Um den allgemeineren Fall eines Elternteils , gehen Sie genau wie oben vor, beginnend mit dem allgemeinen Normal-PDF.$N(\mu, \sigma^2)$