Augmented Filtrations and Martingales im Martingale-Repräsentationssatz

Hinweis: Diese Frage bezieht sich auf die folgende Frage zu komplette Märkte in ständiger Zeit . In der verlinkten Frage wird erwähnt, dass die vollständige Vermarktung der Märkte ein Ergebnis des Satzes der Martingale-Repräsentation ist.

Ich versuche, die Aussage des Theorems zu verstehen, wie sie in gegeben ist sein Wikipedia-Artikel :

Sei $ B_t $ eine Brownsche Bewegung auf einem standardmäßigen gefilterten Wahrscheinlichkeitsraum $ (\ Omega, \ mathcal F, \ mathcal F_t, P) $, und sei $ \ mathcal G_t $ die Erweiterung der durch $ B $ erzeugten Filterung.   Wenn $ X $ eine quadratisch integrierbare Zufallsvariable ist, die in Bezug auf $ \ mathcal G_ \ infty $ messbar ist, dann existiert ein vorhersagbarer Prozess $ C $, der in Bezug auf $ \ mathcal G_t $ so angepasst ist, dass   $$ X = E [X] + \ int_0 ^ \ infty C_s dB_s $$   Folglich,   $$ E [X \ mid G_t] = E [X] + \ int_0 ^ t C_s dB_s. $$

Wo ist in dieser Definition die Beziehung zu Martingales? Ich sehe, dass angenommen wird, dass $ X $ in Bezug auf $ \ mathcal G_ \ infty $ quadratisch integrierbar ist, und ich nehme an, dass es etwas mit der Tatsache zu tun hat, dass $ \ mathcal G_t $ eine "Erweiterung der durch erzeugten Filterung" ist $ b $. " Was ist auch eine "Erweiterung einer Filtration"?

Das Erweiterung der durch $ B $ erzeugten Filtration wird normalerweise nur aufgerufen die erweiterte Filtration und wird unter Verwendung der folgenden Konstruktion definiert. Es wird allgemeiner einfach als bezeichnet die Standard-Brownsche Filtration .

• Die Sammlung $ \ mathcal {C} $ aller Wahrscheinlichkeitssätze $ 0 $ im Sigma-Feld $ \ sigma \ {B_ {s} \:: \: s \ leq t \} $
• Die Auflistung der Nullmengen $ \ mathcal {N} $ aller $ A $, sodass $ A \ subset B $ für $ B \ in \ mathcal {C} $. Es wird angenommen, dass $ \ mathbb {P} (A) = 0 $ für all diese $ A \ in \ mathcal {N} $ ist.

Dann ist die verstärkte Filtration für Brownsche Bewegung ist die Filterung gegeben durch Feld mit $ \ sigma \ {B_ {s} \:: \: s \ leq t \} $ und $ \ mathcal {N} $.

Der Zweck besteht darin, der Filtration einige Eigenschaften zu verleihen, die berücksichtigt werden hilfreich .

Die Beziehung zu Martingalen ist einfach, dass $ X_ {t}: = \ mathbb {E} (X \: | \: \ mathcal {G} _ {t}) $ ein Martingal ist.