Monopole sind nur ein mathematisches Missverständnis

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Ein kleiner Kopfkratzer (und ein gutes Beispiel, warum wir mit der Notation vorsichtig sein sollten).

Betrachten Sie ein gewinnmaximierendes Monopol, das über den Preis hinausgeht

(1)maxπ=PQ(P)C(Q(P))

Befolgen Sie die Routineschritte ( siehe diesen Beitrag )

Wir kommen zu dem wichtigen Ergebnis, dass bei dem gewinnmaximierenden Preis die Preiselastizität der Nachfrage absolut gesehen höher als 1 oder algebraisch niedriger als 1 . Und zwar zu dem gewinnmaximierenden Preis, den wir haben

η=QPPQ<1QPP<Q

(2)QPP+Q<0

Aber QPP+Q ist die Ableitung von PQ(P) und PQ(P)=TR , Gesamtumsatz. Also QPP+Q=MR , Grenzerlös und wir haben gerade erhalten, dass wir zum gewinnmaximierenden Preis und um eine Elastizität von mehr als 1 in absoluten Zahlen zu haben, MR<0 .

Aber wir haben jetzt auch, dass wir am gewinnmaximierenden Punkt MR=MC>0 .

Es gibt also keine Lösung, und wir schließen daraus, dass Monopole nur ein mathematisches Missverständnis sind.

Jetzt habe ich mir die Mühe gemacht (?), Diesen grinsenden Beitrag zu schreiben. Ich hoffe, jemand wird in die wenigen Dutzend Sekunden gehen, die erforderlich sind, um eine klare Antwort zu schreiben und herauszufinden, wo der Trick liegt.

Alecos Papadopoulos
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@AlecosPapadopoulos, entschuldigen Sie meinen nicht verwandten Kommentar, aber wie könnte diese Frage in ein paar Stunden mehr als 220 Aufrufe erhalten?
London
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@ London Aufgrund seines Titels.
Alecos Papadopoulos
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@ London Und dann gibt es den beschleunigenden Effekt "heiße Fragen". Es befindet sich derzeit in der Seitenleiste für heiße Fragen auf der Website für Mathematik.
Alecos Papadopoulos
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Verstehe ich richtig, dass Sie absichtlich Trickfragen stellen?
EnergyNumbers
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@EnergyNumbers Ja, das war eine Trickfrage, wie im letzten Satz des Beitrags geschrieben.
Alecos Papadopoulos

Antworten:

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PQ(P)=TR , Gesamtumsatz.

PQ(P)P.QPP+Q ist die Ableitung von in Bezug auf .PQ(P) P

T R Q.MR , Marginal Revenue, ist die Ableitung von in Bezug auf .TR Q

Also im AllgemeinenQPP+QMR

Adam Bailey
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Das ist die perfekte Antwort "ein paar Dutzend Sekunden wie gewünscht"!
Alecos Papadopoulos
@AlecosPapadopoulos Vielen Dank (hauptsächlich mein Glück, mich zum richtigen Zeitpunkt angemeldet zu haben).
Adam Bailey
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Um die Antwort von @AdamBailey auf den Punkt zu ergänzen, war der Zweck dieses Beitrags, interessierte Leser auf die Konsequenzen der Änderung von Entscheidungsvariablen in unserem Denken aufmerksam zu machen.

Wir sind es gewohnt, die Nachfrage entweder als "Preis je nach Menge" oder als "Menge je nach Preis" zu betrachten. Auf der Seite der Produktionskosten neigen wir jedoch automatisch dazu, die Kosten abhängig von der Menge und nicht vom Verkaufspreis zu betrachten.

Daher zahlt es sich aus, mit der Notation auch nur ein bisschen mühsam explizit zu sein (fragen Sie die Jungs nach der dynamischen Optimierung, z. B. Caputos Buch ). In dem speziellen Beispiel enthüllen die Symbole , , nicht die Entscheidungsvariable, und hier basierte der Trick. Aber wenn ja, haben wir geschriebenM R M C.TRMRMC

maxπ=TR[Q(P)]C[Q(P)]

Wir würden klar signalisieren, dass unsere endgültige Entscheidungsvariable der Preis ist, und so weiter

f.o.c:MR(Q)QPMC(Q)QP=0

(MR(Q)MC(Q))QP=0MR(Q)=MC(Q)

während wir das auch deutlich sehen würden

TRP=MR(Q)QP=QPQ+Q

und damit führt die Anforderung an die Preiselastizität der Nachfrage zu

TRP=MR(P)=QQPQ+Q<0MR(Q)QP<0MR(Q)>0

(da ). Im optimalen Punkt sollte der Grenzerlös in Bezug auf die Menge positiv sein, aber der Grenzerlös in Bezug auf den Preis sollte negativ sein.QP<0

Alecos Papadopoulos
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Ich mag diese Art von kniffligen Fragen und / oder kleinen Rätseln. Vielleicht sollten wir uns ab und zu so etwas einfallen lassen. Mit einer Untergrenze dafür, wie schnell man sein kann, damit jeder denken kann, solange noch keine Antwort auf dem Postweg ist.
Ein alter Mann im Meer.
@Anoldmaninthesea. Wenn Sie Rätsel mögen, überprüfen Sie meine Antwort auf diesen Beitrag, math.stackexchange.com/q/490851/87400 Ich muss sagen, dass ich wirklich stolz darauf bin.
Alecos Papadopoulos
Was halten Sie von Caputos Buch? empfehlen Sie es?
Ein alter Mann im Meer.
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@Anoldmaninthesea. Absolut. Es mag Sie am Anfang verrückt machen, mit all seiner verrückten Notation und seiner Beharrlichkeit, alle Argumente jeder Funktion, die in den verschiedenen Beziehungen vorhanden sind, detailliert zu schreiben, aber wenn Sie sich damit vertraut machen, werden Sie erkennen, wie es hilft, alles klar zu verstehen . Aufgrund dieses Buches habe ich die Hamilton-Jacobi-Bellman-Gleichung zum ersten Mal wirklich verstanden.
Alecos Papadopoulos
Jetzt muss ich es wirklich lesen. =)
Ein alter Mann im Meer.