Monopole sind nur ein mathematisches Missverständnis

Ein kleiner Kopfkratzer (und ein gutes Beispiel, warum wir mit der Notation vorsichtig sein sollten).

Betrachten Sie ein gewinnmaximierendes Monopol, das über den Preis hinausgeht

$$\max \pi = PQ(P) - C(Q(P)) \tag{1}$$

Befolgen Sie die Routineschritte ( siehe diesen Beitrag )

Wir kommen zu dem wichtigen Ergebnis, dass bei dem gewinnmaximierenden Preis die Preiselastizität der Nachfrage absolut gesehen höher als $1$ oder algebraisch niedriger als $-1$ . Und zwar zu dem gewinnmaximierenden Preis, den wir haben

$$\eta^* = \frac {\partial Q }{ \partial P}\cdot \frac {P}{Q} <-1 \Rightarrow \frac {\partial Q }{ \partial P}P <-Q$$

$$\Rightarrow \frac {\partial Q }{ \partial P}P +Q <0 \tag{2}$$

Aber $\frac {\partial Q }{ \partial P}P +Q$ ist die Ableitung von $PQ(P)$ und $PQ(P) = TR$ , Gesamtumsatz. Also $\frac {\partial Q }{ \partial P}P +Q = MR$ , Grenzerlös und wir haben gerade erhalten, dass wir zum gewinnmaximierenden Preis und um eine Elastizität von mehr als $1$ in absoluten Zahlen zu haben, $MR^* <0$ .

Aber wir haben jetzt auch, dass wir am gewinnmaximierenden Punkt $MR^*=MC^*>0$ .

Es gibt also keine Lösung, und wir schließen daraus, dass Monopole nur ein mathematisches Missverständnis sind.

Jetzt habe ich mir die Mühe gemacht (?), Diesen grinsenden Beitrag zu schreiben. Ich hoffe, jemand wird in die wenigen Dutzend Sekunden gehen, die erforderlich sind, um eine klare Antwort zu schreiben und herauszufinden, wo der Trick liegt.

$PQ(P)=TR$ , Gesamtumsatz.

PQ(P)P.$\frac{∂Q}{∂P}P+Q$ ist die Ableitung von in Bezug auf .$PQ(P)$ $P$

T R Q.$MR$ , Marginal Revenue, ist die Ableitung von in Bezug auf .$TR$ $Q$

Also im Allgemeinen$\frac{∂Q}{∂P}P+Q \neq MR$

Um die Antwort von @AdamBailey auf den Punkt zu ergänzen, war der Zweck dieses Beitrags, interessierte Leser auf die Konsequenzen der Änderung von Entscheidungsvariablen in unserem Denken aufmerksam zu machen.

Wir sind es gewohnt, die Nachfrage entweder als "Preis je nach Menge" oder als "Menge je nach Preis" zu betrachten. Auf der Seite der Produktionskosten neigen wir jedoch automatisch dazu, die Kosten abhängig von der Menge und nicht vom Verkaufspreis zu betrachten.

Daher zahlt es sich aus, mit der Notation auch nur ein bisschen mühsam explizit zu sein (fragen Sie die Jungs nach der dynamischen Optimierung, z. B. Caputos Buch ). In dem speziellen Beispiel enthüllen die Symbole , , nicht die Entscheidungsvariable, und hier basierte der Trick. Aber wenn ja, haben wir geschriebenM R M $TR$$MR$$MC$

$$\max \pi = TR[Q(P)] - C[Q(P)]$$

Wir würden klar signalisieren, dass unsere endgültige Entscheidungsvariable der Preis ist, und so weiter

$$f.o.c: \;\;\;MR(Q)\cdot \frac {\partial Q}{\partial P} - MC(Q)\frac {\partial Q}{\partial P} =0$$

$$\implies (MR(Q) - MC(Q))\cdot \frac {\partial Q}{\partial P} =0 \implies MR(Q) = MC(Q)$$

während wir das auch deutlich sehen würden

$$\frac {\partial TR}{\partial P} = MR(Q)\cdot \frac {\partial Q}{\partial P} = \frac {\partial Q}{\partial P}Q + Q$$

und damit führt die Anforderung an die Preiselastizität der Nachfrage zu

$$\frac {\partial TR}{\partial P} = MR(P) = Q\frac {\partial Q}{\partial P}Q + Q < 0 \implies MR(Q)\cdot \frac {\partial Q}{\partial P} < 0 \implies MR(Q) >0$$

(da ). Im optimalen Punkt sollte der Grenzerlös in Bezug auf die Menge positiv sein, aber der Grenzerlös in Bezug auf den Preis sollte negativ sein.$\frac {\partial Q}{\partial P} <0$