Anwendungen / Verallgemeinerungen eines Satzes von Debreu

Ich würde gerne wissen, wie der letzte Satz in Debreus Aufsatz "Neighboring Economic Agents" (La Decision 171 (1969): 85-90; abgedruckt in G. Debreu, Mathematical Economics: Twenty Papers of Gerard Debreu (1986), S. 173) -178) wurde verwendet:

$M$$H$$\varphi$$M$$H$$\varphi(e)$$e \in M$$e \in M$$\lesssim_e$$\varphi(e)$$\{(e, x, y) \in M \times H \times H : x \lesssim_e y\}$$\varphi^0$$M$$H$ wo

$\varphi^0(e) = \{z \in \varphi(e) : x \lesssim_e z \ \ \mbox{for all} \ x \in \varphi(e)\}, \quad e \in M,$

ist kompakt und oberhalbkontinuierlich .

Beachten Sie, dass der Satz dem bekannten Berge-Maximum-Satz ähnelt. Vor der Aussage des Theorems schreibt Debreu, dass Sonderfälle davon "wiederholt in der Theorie des wirtschaftlichen Gleichgewichts und in der Spieltheorie verwendet wurden", gibt aber keine Hinweise; In der Zeitung selbst wird es verwendet, um die obere Hemikontinuität der Nachfragekorrespondenz für einen Agenten in einer Börsenwirtschaft zu beweisen.

Ich bin besonders daran interessiert, ob es in letzter Zeit Verwendungen oder Verallgemeinerungen dieses Theorems gegeben hat, z. B. für Abbildungen, die keinen kompakten Wert haben.

Fragen: Was sind einige gute Beispiele und / oder Referenzen für Anwendungen des obigen Theorems? Wurde es auf Zuordnungen verallgemeinert, die keinen kompakten Wert haben?

Dieses Ergebnis ist in der Tat eine Version des maximalen Satzes von Berge. Wenn es eine stetige Funktion so dass genau dann ist, wenn , kann man das Ergebnis direkt ableiten aus dem Maximalsatz von Berge. Wenn lokal kompakt ist, wie es der Fall ist, wenn , dann kann eine solche Funktion immer gefunden werden, dies folgt aus Satz 1 in Mas-Colells Über die kontinuierliche Darstellung von Vorbestellungen (zumindest wenn ist messbar, da bin ich mir nicht sicher. Mehr zu solchen "gemeinsam kontinuierlichen Nutzenfunktionen" finden Sie in Kapitel 8 der Darstellungen von Präferenzreihenfolgen x ⪯ e z u ( e , x ) ≤ u ( e , z ) H H = R n$u:M\times H\to\mathbb{R}$$x\preceq_e z$$u(e,x)\leq u(e,z)$$H$$H=\mathbb{R}^n$$M$, 1995, von Bridges & Mehta.

Jetzt hatte Debreu kein solches Ergebnis zur Verfügung, also arbeitete er mit Präferenzrelationen und tadelte im Wesentlichen den Maximalsatz von Berge (die Verallgemeinerung ist mathematisch einfach). Warum hat er das getan? Um das zu verstehen, muss man den Punkt von Debreus Artikel verstehen, der darin besteht, eine Topologie zu Präferenzbeziehungen zu finden, die keine Eigenschaften hat und das wirtschaftliche Verhalten kontinuierlich macht. Die Notwendigkeit eines solchen Ergebnisses ergibt sich aus der Literatur über Volkswirtschaften mit einem Kontinuum von Wirkstoffen.

Was bedeutet es, dass ein Kontinuum der Agentenökonomie die Grenze einer Folge endlicher Eonomien ist? Eine Antwort ist, dass die Verteilung der Merkmale von Agenten zur Verteilung der Merkmale in der Kontinuumsökonomie konvergiert, sodass der Begriff der Konvergenz Konvergenz in der Verteilung ist. Um diese Idee umzusetzen, müssen die Eigenschaften von Agenten topologisiert werden. Jetzt zeichnet sich eine Agentin durch ihre Begabung und ihre Vorlieben aus (und in allgemeineren Modellen durch ihre Konsummenge). Es gibt eine natürliche Topologie für Stiftungen, die euklidische Topologie, aber es ist weniger einfach, Präferenzen zu topologisieren, und das hat Debreu in seiner Arbeit getan. Eine Darstellung dieses Verteilungsansatzes findet sich in Hildenbrand 1974, Kern und Gleichgewichte einer großen Wirtschaft .

Nun gibt es Fälle, in denen man den Satz von Berge für nicht kompakte Auswahlmengen anwenden möchte. Dies kann wichtig sein, wenn Volkswirtschaften mit unendlich dimensionalen Warenräumen untersucht werden, in denen das Schließen und Begrenzen keine Kompaktheit bedeutet. Eine Möglichkeit, dieses Problem zu lösen, besteht darin, eine kompakte Menge zu finden, so dass die Korrespondenz kompakt und nicht leer ist, wenn sie auf diese Menge beschränkt ist. Es gibt eine große, sehr technische Literatur zu "generalisierten Spielen" oder "abstrakten Ökonomien" (im Grunde genommen Spiele in normaler Form, bei denen Strategieräume von den Handlungen anderer abhängen), und sie enthalten implizit oft nicht kompakte Verallgemeinerungen des Satzes von Berge. Wenn Sie das Buch in die Hände bekommen können, lesen Sie Kapitel 4 von Xian-Zhi Yuan 1999, KKM-Theorie und Anwendungen in der nichtlinearen Analyse. Mein Eindruck ist jedoch, dass sich diese Ergebnisse in wirtschaftlichen Anwendungen als nicht so nützlich erwiesen haben. Um die Existenz von Walras'schen Gleichgewichten in Modellen mit unendlich dimensionalen Warenräumen zu beweisen, verwendet man normalerweise verschiedene Methoden.