Dynamische Optimierung: Was ist, wenn die Bedingung zweiter Ordnung nicht erfüllt ist?

Betrachten Sie das folgende dynamische Optimierungsproblem:

$$\begin{align} &\max_u \int^T_0{F(x,u)dt}\\ \text{s.t.}~& \dot{x} = f(x,u) \end{align}$$

FOCs

Der Hamilton-Operator ist gegeben durch

$$\begin{align} H(x,u,\lambda) = F(x,u) + \lambda f(x,u) \end{align}$$ Die notwendigen Bedingungen für die Optimalität sind durch das Maximum gegeben Prinzip $$\begin{align} \frac{\partial H}{\partial u} &= 0\\[2mm] \frac{\partial H}{\partial x} &= -\dot{\lambda} \end{align}$$

Angenommen, $u^*=\arg\max_u H(x,u,\lambda)$ ist ein Maximierer, dh $H_{uu} < 0$ .

SOC

Der Satz mit dem ausreichenden Pfeil besagt, dass die erforderlichen Bedingungen ausreichend sind, wenn der maximierte Hamilton-Wert

$$\begin{align} H^0(x,\lambda) = \max_u H(x,u,\lambda) \end{align}$$ konkav ist $x$ , dh wenn $H_{xx} < 0$ .

Problem

Angenommen, die FOCs halten, aber der SOC hält nicht.

• Was kann über die Optimalität der Lösung gesagt werden?

Es gibt keine einzige Antwort, sie hängt von den Einzelheiten jedes Problems ab. Schauen wir uns ein Standardbeispiel an.

Betrachten Sie das intertemporale Benchmark-Optimierungsproblem für das Ramsey-Modell

$$\begin{align} &\max_u \int^{\infty}_0{e^{-\rho t}u(c)dt}\\ \\ & \text{s.t.}\;\; \dot{k} = i-\delta k\\ & \text{s.t.}\;\; y = f(k)=c+i \end{align}$$

Der aktuelle Wert Hamiltonian ist

$$\tilde H = u(c) +\lambda [f(k)-c-\delta k]$$

Maximieren über allein haben wir$c$

$$\frac {\partial \tilde H}{\partial c} = u'(c) - \lambda =0 \implies u'(c^*) = \lambda \implies c^* = (u')^{-1}(\lambda)$$

und die Bedingung 2. Ordnung gilt, wenn die Dienstprogrammfunktion konkav ist,

$$\frac {\partial^2 H}{\partial c^2} = u''(c^*) < 0$$

Darüber hinaus ist aus der Bedingung erster Ordnung in Bezug auf den Verbrauch wenn die lokale Nicht-Sättigung gilt. Angenommen, wir haben solche "üblichen" Vorlieben.$\lambda >0$

Der maximierte Überverbrauch Hamiltonian ist

$$\tilde H^0 = u[(u')^{-1}(\lambda)]+\lambda [f(k)-(u')^{-1}(\lambda)-\delta k]$$

Die partiellen Ableitungen bezüglich der Zustandsvariablen sind$k$

$$\frac {\partial \tilde H^0}{\partial k} = \lambda[f'(k) - \delta], \;\;\;\; \frac {\partial^2 \tilde H^0}{\partial k^2} = \lambda f''(k)$$

Hier läuft die Arrow-Kurz-Suffizienzbedingung darauf hinaus, ob das Grenzprodukt des Kapitals abnimmt, konstant ist oder zunimmt (was vom Vorzeichen der zweiten Ableitung der Produktionsfunktion abhängt). Im Standardfall ist und wir haben die ausreichende Bedingung.$f''(k) < 0$

Im bekanntesten Fall der Abweichung ist Romers Modell, das die Literatur zum endogenen Wachstum initiierte, , und das Grenzprodukt des Kapitals ist eine positive Konstante.f ' ' ( k ) = $AK$$f''(k) =0$

Was können wir also in diesem Fall sagen?

Hier Seierstad, A. & Sydsaeter, K. (1977). Ausreichende Bedingungen für eine optimale Steuerungstheorie. International Economic Review, 367-391. bieten verschiedene Ergebnisse, die uns helfen können.

Insbesondere beweisen sie, dass wenn der Hamilton-Operator in und gemeinsam konkav ist, dies eine ausreichende Bedingung für ein Maximum ist. Der Hessische des Hamiltonianers ist$c$$k$

(Wir können die Rabattlaufzeit ignorieren)

$${\rm He}_H = \left [ \begin{matrix} u''(c) & 0\\ 0 & \lambda f''(k)\\ \end{matrix} \right]$$

Im Standardfall mit dies ist eine negative definitive Matrix und daher ist der Hamilton-Operator in und gemeinsam streng konkav . $u''(c) <0, \; f''(k) <0$$c$$k$

Wenn , ist die Überprüfung, ob die Matrix negativ-semidefinit ist, unter Verwendung der Definition einfach. Betrachten Sie einen Vektor und das Produktz$f''(k) =0$$\mathbf z = (z_1, z_2)^T \in \mathbb R^2$

$$\mathbf z^T{\rm He}_H\mathbf z = z_1^2u''(c) \leq 0$$

Diese schwache Ungleichung gilt , und so ist der Hessische in und gemeinsam konkav .$\forall \mathbf z \in \mathbb R^2$$c$$k$

Im Modell des endogenen Wachstums ist die Lösung also tatsächlich ein Maximum (vorbehaltlich der Parameterbeschränkungen, die für eine genaue Definition des Problems erforderlich sind).$AK$