Gibt es eine Möglichkeit, den Satz von Berge von Maximum mit dem Satz von Envelope zu verknüpfen?

8

Der Satz von Berge besagt

Sei , eine gemeinsam stetige Funktion, eine stetige (beide obere und untere hemikontinuierliche) Korrespondenz mit kompaktem Wert. Die Maximierungswertfunktion und der Maximierer sind Dann ist stetig und ist obere halbkontinuierlich. $X \in \mathbb R^m, \Theta \in \mathbb R^n$ $f : X \times \Theta \to \mathbb R$ $C : \Theta \rightrightarrows X$
$V (θ) := max_{x \in X} f (x, θ)$ $V(\theta) := \max_{x \in X}f(x, \theta)$ $C^{*} (θ) := {x \in C (θ) ∣ f (x, θ) = V (θ)}$ $C^\ast(\theta):=\{x \in C(\theta) \mid f(x, \theta )=V(\theta)\}$ $V : \Theta \to \mathbb R$ $C^\ast :\Theta \rightrightarrows X$

Nach Varian's Microeconomic Analysis (1992), Seite 490, lautet der Umschlagsatz einfach:

$\frac{d M (a)}{d a} = \frac{\partial f (x, a)}{\partial a} ∣_{x = x (a)}$ $\frac{dM(a)}{da}=\frac{\partial f(x,a)}{\partial a}\mid_{x=x(a)}$

$x(a)$ ist der Maximierer von $f(\cdot, a)$ .

Es scheint mir, dass der Umschlagsatz den Satz von Berge beinhaltet, aber die Ableitung sieht viel einfacher aus. Gibt es eine Beziehung zwischen den beiden?

mathematical-economics academic-graduate optimization Epikur
quelle

Es sieht nicht so aus, als wären die beiden mit demselben Ziel beschäftigt. Berge's legt Eigenschaften der Wertfunktion und des Satzes von Maximierern fest. In Envelope geht es darum zu zeigen, wie sich das Variieren eines Parameters auswirkt. Vielleicht können Sie die Art der Verbindung zwischen den beiden erläutern, die Sie fasziniert.

Alecos Papadopoulos

@AlecosPapadopoulos Entschuldigen Sie die Unbestimmtheit meiner Frage. Jetzt fand ich heraus, dass diese Frage aus meiner vagen Erinnerung an Satz 2 in Lucas (1978) stammte. Jetzt kann ich es genauer formulieren. Welche Bedingungen für die Nutzfunktion und -beschränkung ermöglichen es uns, den Hüllkurvensatz erst anzuwenden, nachdem wir die Kontinuität der Wertfunktion durch den Satz von Berge hergestellt haben? people.hss.caltech.edu/~pbs/expfinance/Readings/Lucas1978.pdf

Epikur

Ich denke nicht, dass Sie unbedingt "Kontinuität der Wertfunktion herstellen" müssen, um den Hüllkurvensatz zu verwenden. Ich denke, der Schlüsselteil ist der Punkt über die Steuerung . Siehe Satz 2 auf der Wikipedia-Seite. Dort ist die Kontinuität von V ein Ergebnis. In jedem Fall enthält die Wikipedia-Seite die Sätze vollständig. Es wird Ihnen sagen, was Sie annehmen müssen, um den Satz zu verwenden. en.wikipedia.org/wiki/Envelope_theorem

C^{*}

$C^*$

jmbejara

6

Sie sind verwandt und fallen normalerweise in dieselbe Diskussion, aber wie @Alecos in den Kommentaren erwähnt, zeigen die beiden Sätze unterschiedliche Dinge.

Ich nehme an, die Verbindung, nach der Sie suchen, ist die Tatsache, dass, wenn die Ableitung existiert, Dann, weil Differenzierbarkeit Kontinuität impliziert, können Sie möglicherweise einen Teil des Theorems des Maximums daraus ziehen. Um jedoch zwei Theoreme zu vergleichen und gegenüberzustellen, müssen Sie nicht nur die Ergebnisse betrachten. Sie müssen sich auch die Annahmen ansehen. Zum Beispiel setzt der Satz des Maximums keinerlei Differenzierbarkeit voraus. Der Hüllkurvensatz tut dies (zumindest einige Formen davon). In jedem Fall sind die Annahmen, die in jedem enthalten sind, unterschiedlich (einige stärker, andere schwächer).

{\frac{\partial f (x, a)}{\partial a} |}_{x = x (a)}

$\left .\frac{\partial f(x, a)}{\partial a} \right |_{x=x(a)}$

Auch das gibt es. Der Hüllkurvensatz sagt Ihnen nichts über die Steuerfunktion. Daher werden Sie definitiv nicht in der Lage sein, das Ergebnis zu erhalten, dass oberhalb hemikontinuierlich ist. $C^*$

jmbejara
quelle

4

Zitieren des OP aus einem Kommentar

Welche Bedingungen für die Nutzfunktion und -beschränkung ermöglichen es uns, den Hüllkurvensatz erst anzuwenden, nachdem wir die Kontinuität der Wertfunktion durch den Satz von Berge hergestellt haben? people.hss.caltech.edu/~pbs/expfinance/Readings/Lucas1978.pdf

In dem zitierten Artikel von Lucas (1978) stellt Proposition 1 dies fest

Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

wobei die Wertfunktion ist und ihre Definition ist. Es scheint also, dass hier die Kontinuität der Preisfunktion als Bedingung herausgestellt wird, aber weiter oben in diesem Artikel definiert Lucas die Utility-Funktion als eine nicht negative Funktion $v(z,y;p)$ $(i)$

kontinuierlich differenzierbar, begrenzt, zunehmend und streng konkav

Satz 2 des Papiers legt die Differenzierbarkeit der Wertfunktion fest, ohne dass weitere Annahmen erforderlich sind.

Alecos Papadopoulos
quelle

Gibt es eine Möglichkeit, den Satz von Berge von Maximum mit dem Satz von Envelope zu verknüpfen?

Antworten: