Wie gehe ich mit gekrümmten Randbedingungen um, wenn ich die Methode der finiten Differenz verwende?

Ich versuche, das numerische Lösen von PDE selbst zu lernen.

Ich habe einige Zeit mit der Finite-Differenzen-Methode (FDM) begonnen, weil ich gehört habe, dass FDM das Fundament zahlreicher numerischer Methoden für PDE ist. Bisher habe ich ein Grundverständnis für FDM und war in der Lage, mit den Materialien, die ich in der Bibliothek und im Internet gefunden habe, Codes für eine einfache PDE zu schreiben über die Behandlung von unregelmäßigen, gekrümmten, seltsamen Grenzen, wie diese .

Außerdem habe ich noch nie eine einfache Möglichkeit gesehen, mit der gekrümmten Grenze umzugehen. Zum Beispiel hat sich das Buch Numerische Lösung partieller Differentialgleichungen - Eine Einführung (Morton K., Mayers D) , das die detaillierteste Diskussion (hauptsächlich in 3.4 von S. 71 und 6.4 von S. 1999) enthält, die ich bis jetzt gesehen habe, zugewandt Eine Extrapolation, die für mich sehr umständlich und frustrierend ist.

Wie also, wie der Titel schon sagt, in Bezug auf die gekrümmte Grenze, wird mit FDM normalerweise umgegangen? Mit anderen Worten, was ist die beliebteste Behandlung dafür? Oder kommt es auf den PDE-Typ an?

Gibt es eine (zumindest relativ) elegante und hochpräzise Möglichkeit, mit der gekrümmten Grenze umzugehen? Oder ist es nur ein unvermeidlicher Schmerz?

Ich möchte sogar fragen, ob die Leute heutzutage tatsächlich FDM für gekrümmte Grenzen verwenden. Wenn nicht, was ist die übliche Methode dafür?

Jede Hilfe wäre dankbar.

Wenn Sie Ihre letzte Frage zuerst beantworten, verwenden die Leute heutzutage tatsächlich FDM für gekrümmte Grenzen. Ich würde sagen, die Antwort ist nein. In der kommerziellen CFD-Welt sind genaue Schemata mit endlichem Volumen 2. Ordnung de facto der Industriestandard. Einer der Vorteile von FV (und der von Jed erwähnten Methode mit finiten Elementen / diskontinuierlichen Galerkinen) gegenüber FD ist der viel natürlichere Umgang mit komplexen Grenzen. FD bietet die Grundlage für eine Vielzahl von numerischen Methoden (einschließlich FV) und muss als erster Schritt erlernt werden, ist jedoch nicht empfehlenswert für komplexe Großprobleme.

$(x,y)$$\xi = \xi(x,y),\eta = \eta(x,y)$$\Delta \xi = \Delta \eta = constant$. Dann kann man Begriffe wie umschreiben

$\frac{\partial (\xi,\eta)}{\partial (x,y)}$$u$ Ableitungen können auf einer logisch einfachen Berechnungsdomäne berechnet werden . Dieser Prozess macht die Implementierung von Randbedingungen einfach, erfordert jedoch die Erzeugung eines ausreichend glatten, nominal orthogonalen krummlinigen Gitters.

Ich würde sagen, dieser körperangepasste Gitteransatz ist die "beliebteste Behandlung" für den Umgang mit gekrümmten Grenzen in FD, mit dem Vorbehalt, dass FD-Methoden für komplexe Anwendungen selbst nicht mehr sehr "beliebt" sind. Es ist selten, dass sie in der CFD-Literatur immer noch auftauchen, außer auf sehr einfachen Gebieten.

Gekrümmte Grenzen werden in den meisten CFD-Büchern behandelt, z. B. in Kapitel 11 von Wesseling oder in Kapitel 8 von Ferziger und Peric .

Obwohl dies kein grundlegendes theoretisches Problem ist, ist die praktische Komplexität der Implementierung von Randbedingungen für Methoden höherer Ordnung an gekrümmten Grenzen ein wesentlicher Grund für das Interesse an geometrisch flexibleren Methoden wie der Finite-Elemente-Methode (einschließlich diskontinuierlichem Galerkin). In einigen CFD-Simulationen werden strukturierte Finite-Differenzen- und Finite-Volumen-Gitter verwendet, aber unstrukturierte Methoden werden immer beliebter, und die lokalen Operationen, die von unstrukturierten Methoden höherer Ordnung verwendet werden, sind tatsächlich recht effizient und können daher im Vergleich zu ähnlichen FDs keinen großen Wirkungsgradverlust erleiden Methoden. (In der Tat macht die geometrische Flexibilität sie oft effizienter.)

Ich habe in den letzten n Jahren an hochpräziser fdm gearbeitet. und ich habe die Elektrostatik-2-Dim-Laplace-Gleichung als Beispiel für die explizite Entwicklung der hochpräzisen Algorithmen verwendet. bis vor ungefähr 4 Jahren wurden die Probleme mit horizontalen oder vertikalen Linienpunkten potenzieller Diskontinuität konstruiert. Wenn Sie meinen Namen und fdm hochpräzise googeln, sollten Sie die Referenzen finden. aber das ist nicht deine frage. Ihre Frage ist fdm und gebogene Grenzen. vor etwa einem jahr habe ich in hong kong eine lösung für bestellung 8 vorgestellt (siehe Eine Methode zur Bestimmung der endlichen Differenz für zylindrisch symmetrische Elektrostatik mit krummlinigen Grenzen), die Algorithmen der Ordnung 8 für innere Punkte in der Nähe der Grenze erstellten, und diese würden natürlich Punkte auf der anderen Seite der Grenze erfordern. Die Punkte auf der anderen Seite der Grenze wurden dort platziert, indem das Netz einfach auf die andere Seite erweitert wurde. Dabei stellte sich die Frage, wie Sie die Werte dieser Punkte finden, wenn Sie das Netz entspannen. Dies wurde durch Integrieren von der Grenze (bekanntes Potential) bis zum Punkt unter Verwendung der Algorithmen erreicht. es war einigermaßen erfolgreich und einigermaßen genau ~ <1e-11, ABER es waren 103 Algorithmen erforderlich, die jeweils einzeln hergestellt wurden, und es waren etwas spröde, instabile Geometrien zu finden. Um dem oben genannten abzuhelfen, wurde eine Lösung gefunden (Reihenfolge 8 und darunter), wobei (ein!) Minimalalgorithmus verwendet wurde und die Lösung eine beträchtliche Robustheit aufweist. es wurde eingereicht, ist aber als vorabdruck per e-mail an mich erhältlich. Ich glaube, diese Technik wäre erweiterbar auf andere zeitunabhängige PDEs (linear erforderlich) als Laplace und auf Dimensionen höher als 2. Ich habe das zeitabhängige Problem nicht in Betracht gezogen, aber die Technik, die eine Potenzreihentechnik ist, sollte anpassbar und anwendbar sein. David