Wie gehe ich mit gekrümmten Randbedingungen um, wenn ich die Methode der finiten Differenz verwende?

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Ich versuche, das numerische Lösen von PDE selbst zu lernen.

Ich habe einige Zeit mit der Finite-Differenzen-Methode (FDM) begonnen, weil ich gehört habe, dass FDM das Fundament zahlreicher numerischer Methoden für PDE ist. Bisher habe ich ein Grundverständnis für FDM und war in der Lage, mit den Materialien, die ich in der Bibliothek und im Internet gefunden habe, Codes für eine einfache PDE zu schreiben über die Behandlung von unregelmäßigen, gekrümmten, seltsamen Grenzen, wie diese .

Außerdem habe ich noch nie eine einfache Möglichkeit gesehen, mit der gekrümmten Grenze umzugehen. Zum Beispiel hat sich das Buch Numerische Lösung partieller Differentialgleichungen - Eine Einführung (Morton K., Mayers D) , das die detaillierteste Diskussion (hauptsächlich in 3.4 von S. 71 und 6.4 von S. 1999) enthält, die ich bis jetzt gesehen habe, zugewandt Eine Extrapolation, die für mich sehr umständlich und frustrierend ist.

Wie also, wie der Titel schon sagt, in Bezug auf die gekrümmte Grenze, wird mit FDM normalerweise umgegangen? Mit anderen Worten, was ist die beliebteste Behandlung dafür? Oder kommt es auf den PDE-Typ an?

Gibt es eine (zumindest relativ) elegante und hochpräzise Möglichkeit, mit der gekrümmten Grenze umzugehen? Oder ist es nur ein unvermeidlicher Schmerz?

Ich möchte sogar fragen, ob die Leute heutzutage tatsächlich FDM für gekrümmte Grenzen verwenden. Wenn nicht, was ist die übliche Methode dafür?

Jede Hilfe wäre dankbar.

xzczd
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Antworten:

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Wenn Sie Ihre letzte Frage zuerst beantworten, verwenden die Leute heutzutage tatsächlich FDM für gekrümmte Grenzen. Ich würde sagen, die Antwort ist nein. In der kommerziellen CFD-Welt sind genaue Schemata mit endlichem Volumen 2. Ordnung de facto der Industriestandard. Einer der Vorteile von FV (und der von Jed erwähnten Methode mit finiten Elementen / diskontinuierlichen Galerkinen) gegenüber FD ist der viel natürlichere Umgang mit komplexen Grenzen. FD bietet die Grundlage für eine Vielzahl von numerischen Methoden (einschließlich FV) und muss als erster Schritt erlernt werden, ist jedoch nicht empfehlenswert für komplexe Großprobleme.

(x,y)ξ=ξ(x,y),η=η(x,y)Δξ=Δη=cÖnsteinnt. Dann kann man Begriffe wie umschreiben

ux=uξξx+uηηx

(ξ,η)(x,y)u Ableitungen können auf einer logisch einfachen Berechnungsdomäne berechnet werden . Dieser Prozess macht die Implementierung von Randbedingungen einfach, erfordert jedoch die Erzeugung eines ausreichend glatten, nominal orthogonalen krummlinigen Gitters.

Ich würde sagen, dieser körperangepasste Gitteransatz ist die "beliebteste Behandlung" für den Umgang mit gekrümmten Grenzen in FD, mit dem Vorbehalt, dass FD-Methoden für komplexe Anwendungen selbst nicht mehr sehr "beliebt" sind. Es ist selten, dass sie in der CFD-Literatur immer noch auftauchen, außer auf sehr einfachen Gebieten.

Aurelius
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Ihre Aussage "Ich würde sagen, die Antwort ist nein" ist nicht korrekt. Visbal und Gaitonde arbeiten weitgehend mit FD höherer Ordnung im FDL3DI-Code . Außerdem ist der NASA- OVERFLOW-Code ein FD-Code (soweit ich weiß / kann).
Brian Zatapatique
OVERFLOW war ursprünglich nur FD, aber jetzt wird in der Regel FV-Flux-Splitting (AUSM, HLLC usw. in Kapitel 1 Ihres Links) verwendet. Es handelt sich auch definitiv um "Legacy" -Code. Diese FDL3DI-Verknüpfung stammt aus den 90er Jahren, als die Arbeit mit Finite-Elemente- / DG-basierten Schemata hoher Ordnung noch in den Kinderschuhen steckten und es keine nachweislich tragfähigen hochordnungsgenauen Schemata mit endlichem Volumen gab. Ich denke, es wird Ihnen schwer fallen, 2013 jemanden davon zu überzeugen, mit der Entwicklung eines Codes zu beginnen, der auf der kompakten Finite-Differenzen-Strategie dieser Arbeit basiert. So elegant es auch ist, es ist für Anwendungen sehr restriktiv.
Aurelius
Ich stimme der allgemeinen Aussage nicht zu, dass es nicht ratsam ist, FD für komplexe Großprobleme zu verwenden. Heutzutage neigen HPC-Anwender dazu, ihre Finite-Elemente-Schemata schablonenartig umzugestalten und (halb-) strukturierte Gitter zu verwenden, um matrixfreie Löser für extrem skaliertes Computing effizient zu implementieren. So unmodern sie auch sind, die Menschen wollen immer noch endliche Unterschiede nutzen. Ganz zu schweigen davon, dass es Anwendungen gibt, bei denen Sie mit strukturierten Netzen davonkommen können. Bei komplexen Geometrien ist Standard-FD jedoch schmerzhaft und möglicherweise wollten Sie dies angeben.
Christian Waluga
Bei einfachen gekrümmten Geometrien gewinnt FD höherer Ordnung auf Effizienzbasis (Genauigkeit / Zeit) über Spektraldifferenzen / Volumen höherer Ordnung, Flussrekonstruktions- oder DG-Methoden. Bei komplexen Projekten kann die Erstellung von Gitternetzen Kopfzerbrechen bereiten, sodass Sie alternative Ansätze ausprobieren müssen. Man darf nicht vergessen, dass die sehr große Flexibilität der oben genannten Methoden mit erheblichen Kosten verbunden ist, siehe diesen Aufsatz von Loehner . Dies ist ein Grund, warum FDL3DI und OVERFLOW immer noch Verwendung finden.
Brian Zatapatique
@ChristianWaluga Ja, das ist im Grunde das, was ich sagen wollte. Offensichtlich finden FD-Ideen ihren Weg in andere Anwendungen (z. B. Gradienten in FV, die durch endliche Differenzen berechnet werden) und in bestimmten Bereichen wie DNS auf einfachen Geometrien werden sie verwendet. Bei allgemeinen Codes war der Trend in den letzten zwei Jahrzehnten jedoch deutlich von der reinen FD entfernt.
Aurelius
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Gekrümmte Grenzen werden in den meisten CFD-Büchern behandelt, z. B. in Kapitel 11 von Wesseling oder in Kapitel 8 von Ferziger und Peric .

Obwohl dies kein grundlegendes theoretisches Problem ist, ist die praktische Komplexität der Implementierung von Randbedingungen für Methoden höherer Ordnung an gekrümmten Grenzen ein wesentlicher Grund für das Interesse an geometrisch flexibleren Methoden wie der Finite-Elemente-Methode (einschließlich diskontinuierlichem Galerkin). In einigen CFD-Simulationen werden strukturierte Finite-Differenzen- und Finite-Volumen-Gitter verwendet, aber unstrukturierte Methoden werden immer beliebter, und die lokalen Operationen, die von unstrukturierten Methoden höherer Ordnung verwendet werden, sind tatsächlich recht effizient und können daher im Vergleich zu ähnlichen FDs keinen großen Wirkungsgradverlust erleiden Methoden. (In der Tat macht die geometrische Flexibilität sie oft effizienter.)

Jed Brown
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Tolle Antwort, Jed. Es gibt eine sehr schrittweise Anleitung zur Behandlung von unregelmäßigen Blutzuckerspiegeln bei einem Flüssigkeitsproblem, das in meiner Diplomarbeit S. 38-46 zu finden ist. Ehrlich gesagt ist es ein großer A * # Schmerz, dies in FD-Formulierungen zu tun. Die wichtige Erkenntnis ist, dass gekrümmte BCs durch eine große Anzahl von infinitesimalen geraden approximiert werden können.
meawoppl
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Ich habe in den letzten n Jahren an hochpräziser fdm gearbeitet. und ich habe die Elektrostatik-2-Dim-Laplace-Gleichung als Beispiel für die explizite Entwicklung der hochpräzisen Algorithmen verwendet. bis vor ungefähr 4 Jahren wurden die Probleme mit horizontalen oder vertikalen Linienpunkten potenzieller Diskontinuität konstruiert. Wenn Sie meinen Namen und fdm hochpräzise googeln, sollten Sie die Referenzen finden. aber das ist nicht deine frage. Ihre Frage ist fdm und gebogene Grenzen. vor etwa einem jahr habe ich in hong kong eine lösung für bestellung 8 vorgestellt (siehe Eine Methode zur Bestimmung der endlichen Differenz für zylindrisch symmetrische Elektrostatik mit krummlinigen Grenzen), die Algorithmen der Ordnung 8 für innere Punkte in der Nähe der Grenze erstellten, und diese würden natürlich Punkte auf der anderen Seite der Grenze erfordern. Die Punkte auf der anderen Seite der Grenze wurden dort platziert, indem das Netz einfach auf die andere Seite erweitert wurde. Dabei stellte sich die Frage, wie Sie die Werte dieser Punkte finden, wenn Sie das Netz entspannen. Dies wurde durch Integrieren von der Grenze (bekanntes Potential) bis zum Punkt unter Verwendung der Algorithmen erreicht. es war einigermaßen erfolgreich und einigermaßen genau ~ <1e-11, ABER es waren 103 Algorithmen erforderlich, die jeweils einzeln hergestellt wurden, und es waren etwas spröde, instabile Geometrien zu finden. Um dem oben genannten abzuhelfen, wurde eine Lösung gefunden (Reihenfolge 8 und darunter), wobei (ein!) Minimalalgorithmus verwendet wurde und die Lösung eine beträchtliche Robustheit aufweist. es wurde eingereicht, ist aber als vorabdruck per e-mail an mich erhältlich. Ich glaube, diese Technik wäre erweiterbar auf andere zeitunabhängige PDEs (linear erforderlich) als Laplace und auf Dimensionen höher als 2. Ich habe das zeitabhängige Problem nicht in Betracht gezogen, aber die Technik, die eine Potenzreihentechnik ist, sollte anpassbar und anwendbar sein. David

David
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Wenn Sie Ihr Papier an einen Preprint-Server (wie zum Beispiel arXiv) senden und dann hier darauf verlinken könnten, würde dies Ihre Antwort verbessern. Im Allgemeinen sollten Antworten keine E-Mail-Adressen enthalten. Ich ermutige Sie auch, Ihre Antwort präziser zu gestalten.
Geoff Oxberry