Zur Vollständigkeit des Periodensystems der finiten Elemente

In einem kürzlich erschienenen Artikel der SIAM News gibt es einen langen Artikel, der eine systematische Organisation der finiten Elemente beschreibt und treffend als Periodensystem der finiten Elemente bezeichnet wird . Es ist wirklich faszinierend zu sehen, wie die Klassifizierung über die Finite-Elemente-Außenrechnung erreicht werden kann. Wie die Autoren angeben:

So wie die Anordnung der chemischen Elemente in einem Periodensystem zur Entdeckung neuer Elemente führte, hat das Periodensystem der finiten Elemente nicht nur bestehende Elemente geklärt, sondern auch Lücken in unserem Wissen hervorgehoben und zu neuen Familien von finiten Elementen geführt, die für bestimmte geeignet sind Zwecke.

Die Analogie fasziniert mich und lässt mich fragen, ob es möglich ist, alle möglichen "Löcher" auf die gleiche Weise zu füllen, wie fehlende materielle Elemente gefunden wurden. Vielleicht dehnt dies die Analogie zu weit aus, aber ich bin gespannt, ob alle möglichen "Lücken" in finiten Elementen vollständig erforscht und gemäß diesem Klassifizierungsansatz für finite Elemente der Außenrechnung entwickelt wurden. Wenn nicht, was sind die wichtigeren "fehlenden Methoden", auf deren Entwicklung sich die Forschung derzeit konzentriert, und warum? Gibt es darüber hinaus Finite-Elemente-Methoden, die mit diesem Ansatz nicht klassifiziert werden können (abgesehen vom offensichtlichen Weglassen beliebig geformter Vereinfachungen ...)?

Haftungsausschluss: Ich arbeite nicht wirklich in diesem Bereich (finde es einfach interessant), daher könnte ich einige der Ideen falsch verstehen. Entschuldigen Sie, wenn dies passiert, und korrigieren Sie mich bitte, wenn Sie einen Fehler sehen.

Eine Randnotiz: Finite Elemente entsprechen nicht ganz den Finite-Elemente-Methoden. Dies sind Elemente, die durch Ciarlet definiert werden - endliche dimensionale Approximationsräume mit Freiheitsgraden, die als lineare Funktionale für den Raum definiert sind. Finite-Elemente-Methoden können eine viel breitere Gruppe von Diskretisierungen sein (z. B. Stabilisierungen der schwachen Form, diskrete Tricks usw.).

Doug Arnold hat eine gute Auswahl aktueller Arbeiten im Stil der SIAM-Tabelle. Ein gutes Stück war die Erweiterung dieser Idee auf die Serendipity-Gruppe der finiten Elemente, die es ihm ermöglichte, eine neue Familie von 3D-Serendipity-Finite-Elementen zu generieren. Annalisa Buffa hat auch B-Spline-Diskretisierungen in diesen Rahmen differenzieller Formen eingepasst .

Viele der obigen Ideen beinhalten eine endlich dimensionale Reproduktion eines De Rham-Komplexes, um "kompatible Diskretisierungen" zu bilden (die Stabilität gemischter finiter Elemente ist an die allgemeine Idee der Kompatibilität bei Diskretisierungen gebunden). Kompatibilität ist auch bei Maxwells- und Curl-Curl- Problemen vorhanden, bei denen dies Stabilität des Verfahrens und eine genaue Wiedergabe des Bedienerspektrums ergibt. Außerhalb von FEM scheinen auch mimetische Finite-Differenzen-Methoden mit diesen Konzepten verwandt zu sein (obwohl sie eng mit gemischten FEM-Methoden verwandt sind, bin ich mir nicht sicher, wie speziell dies ist).

In jüngerer Zeit entwickelte Arnold finite Elemente für die Elastizität basierend auf einem separaten "Elastizitäts" -Komplex, und John Evans reproduzierte diese Idee für Stokes und definierte eine Grundlage für inkompressible Strömungsprobleme basierend auf einem "Stokes-Komplex" . Wenn das vollständige Problem einschließlich der divergenzfreien Bedingung diskretisiert wird, kann gezeigt werden, dass die resultierende Diskretisierung punktweise (nicht schwach) divergenzfrei ist. Gerritsma und Hiemstra argumentieren, dass Sie dieselben geometrischen Ideen verwenden können , um Diskretisierungen hoher Ordnung zu konstruieren , die exakte Konservierungseigenschaften für eine Vielzahl von Konservierungsgesetzen erfüllen .

TL; DR - für das Periodensystem der FEM: exotische und nichttraditionelle Elemente? Für die Idee, FEM in Familien zu gruppieren: kompatible Diskretisierungen und geometrische Modellierung der Physik?