Kann ein numerisches Schema verwendet werden, um die Position eines Anfangs- oder Randwertproblems zu bestimmen?

Ich weiß, dass wir mathematische Analysetechniken verwenden können, um zu beweisen, ob ein IVP oder BVP eine Lösung hat, einzigartig ist und kontinuierlich von den Grenz- / Anfangswerten abhängt. Für einige PDEs, insbesondere nichtlineare PDEs, ist es sehr schwierig, wenn nicht unmöglich, eine gute Haltung zu beweisen. Gibt es irgendeine numerische Technik, um zu überprüfen, ob ein Problem gut gestellt ist oder nicht?

Im Allgemeinen nein. Eine numerische Lösung kann manchmal als grobes Maß verwendet werden, um anzuzeigen, ob Randbedingungen ausreichend sind, um beispielsweise "schwebende" Domänen zu identifizieren. In vielen Fällen erhalten Sie jedoch durch diskrete Lösungen geradezu irreführende Informationen über das Kontinuumsproblem.

1. Advektionsdiffusion erfordert eine Randbedingung an allen Grenzen, aber diskrete Systeme können keine Randbedingung am Abfluss verwenden (keine homogene Neumann-Bedingung, ich meine wirklich keine Randbedingung). Darüber hinaus ist es genauer als die diskrete Darstellung der Kontinuumsgrenzbedingung. Siehe Papanastasiou, Malamataris und Ellwood 1992 und Griffiths 1997 für Details. Eine ähnliche Randbedingung ist auch für den Schlupf auf gekrümmten Flächen wichtig, siehe Behr 2004 .

2. Das "Karbunkelphänomen" betrifft bestimmte Methoden zur kompressiblen Strömung. Es ist nicht sehr gut verstanden, aber scheinbar robuste numerische Schemata können zu falschen Lösungen konvergieren. Ein Beispiel von Robinet et al. 2000

3. Falsche Lösungen für inkompressible Navier-Stokes innerhalb eines laminaren Regimes. Ein einfaches Beispiel für einen deckelgetriebenen Hohlraum finden sich in Schreiber und Keller 1983 .

4. Systeme hyperbolischer Erhaltungsgesetze mit nicht physikalischer relativer Größe der numerischen Dissipation. Eine gewisse numerische Dissipation ist immer erforderlich, aber ansonsten können robuste (z. B. Godunov) Methoden systematisch zu falschen Ergebnissen konvergieren, wenn die numerische Dissipation nicht physikalisch ist. Ein einfaches Beispiel finden Sie in Mishra und Spinolo 2011wobei die Standard-Godunov-Methode für 1D-linearisiertes Flachwasser zu einem falschen Ergebnis konvergiert. Dies zeigt sich in einer größeren Wirbelsimulation in einer tieferen Form. Die Wirbelviskosität ist eine physikalische Manifestation von Subgrid-Skalen. Wenn jedoch die (unvermeidbare) numerische Dissipation größer als die physikalische Dissipation ist, kann die Simulation zu systematisch falschen Ergebnissen konvergieren. In der Praxis sind die Subgrid-Verschlüsse für die Wirbelviskosität sehr wichtig. Hierbei handelt es sich um eine singuläre Grenze entlang des richtigen (physischen) Pfades.

5. Verriegelungseffekte im Elastizitäts- oder Schachbrettmodus im inkompressiblen Fluss. Diese sind auf die Wahl eines instabilen Approximationsraums zurückzuführen und sind zumindest für lineare Probleme inzwischen sehr gut bekannt. Wenn Sie sich jedoch auf eine numerische Lösung stützen, um auf eine gute Position zu schließen, können Sie zu dem Schluss kommen, dass die inkompressible Grenze schlecht gestellt war.