Der Lax-Äquivalenzsatz besagt, dass die Konsistenz und Stabilität eines numerischen Schemas für ein lineares Anfangswertproblem eine notwendige und ausreichende Bedingung für die Konvergenz ist. Bei nichtlinearen Problemen können numerische Methoden sehr plausibel zu falschen Ergebnissen konvergieren, obwohl sie konsistent und stabil sind. Diese Arbeit zeigt zum Beispiel, wie eine Godunov-Methode erster Ordnung, die auf die 1D-linearisierten Flachwassergleichungen angewendet wird, zu einer falschen Lösung konvergiert.
Offensichtlich ist die Selbstkonvergenz unter Verfeinerung des Netzes und des Zeitschritts nicht ausreichend, aber für nichtlineare PDEs sind im Allgemeinen keine genauen Lösungen verfügbar. Wie kann man also feststellen, ob eine numerische Methode zu einer echten Lösung konvergiert?
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Antworten:
In diesem Zusammenhang sind zwei Hauptklassen von Lösungen zu erörtern.
"Ausreichend" Reibungslose Lösungen
In Strangs klassischer Arbeit wird gezeigt, dass das Lax-Äquivalenz-Theorem (dh die Idee, dass Konsistenz plus Stabilität Konvergenz impliziert) sich auf nichtlineare PDE-Lösungen erstreckt, wenn sie eine bestimmte Anzahl kontinuierlicher Derivate aufweisen . Beachten Sie, dass dieses Papier sich auf hyperbolische Probleme konzentriert, das Ergebnis sich jedoch auf parabolische Probleme überträgt. Die Anzahl der benötigten Derivate ist ein technischer Punkt, aber dieser Ansatz ist normalerweise auf Lösungen anwendbar, die die PDE in starkem Sinne erfüllen.
Diskontinuierliche Lösungen
Im anderen Extremfall haben wir PDE- "Lösungen" mit Diskontinuitäten , die typischerweise aus nichtlinearen hyperbolischen Erhaltungsgesetzen resultieren . In dieser Situation kann natürlich nicht gesagt werden, dass die Lösung die PDE im engeren Sinne zufriedenstellt, da sie an einem oder mehreren Punkten nicht differenzierbar ist. Stattdessen muss der Begriff der schwachen Lösung eingeführt werden, der im Wesentlichen die Erfüllung eines integralen Erhaltungsgesetzes durch die Lösung voraussetzt.
In diesem Fall ist es auch schwieriger, die Konvergenz einer Folge von Lösungen zu beweisen , da die -Stabilität nicht ausreicht. In der Regel muss die Sequenz so dargestellt werden, dass sie auf einem kompakten Raum liegt, wie z. B. die Menge von L ∞ -Funktionen mit einer begrenzten maximalen Gesamtvariation.Lp L∞
Wenn gezeigt werden kann, dass die Sequenz zu etwas konvergiert, und wenn die Methode konservativ ist, dann garantiert das Lax-Wendroff-Theorem, dass es zu einer schwachen Lösung des Erhaltungsgesetzes konvergiert. Allerdings sind solche Lösungen nicht eindeutig zuzuordnen . Um festzustellen, welche schwache Lösung "richtig" ist, sind Informationen erforderlich, die nicht in der hyperbolischen PDE enthalten sind. Im Allgemeinen werden hyperbolische PDEs erhalten, indem parabolische Terme in einem Kontinuumsmodell vernachlässigt werden, und die richtige schwache Lösung kann davon abhängen, welche parabolischen Terme verworfen wurden (dieser letzte Punkt ist der Schwerpunkt des in der obigen Frage verknüpften Artikels ).
Dies ist ein reiches und komplexes Thema, und die mathematische Theorie ist bei weitem nicht vollständig. Die meisten Konvergenz-Proofs sind für 1D-Probleme und basieren auf speziellen Techniken. Somit können fast alle tatsächlichen rechnerischen Lösungen der hyperbolischen Erhaltungsgesetze in der Praxis nicht als mit den vorhandenen Werkzeugen konvergent nachgewiesen werden. Für eine praktische Diskussion aus rechnerischer Sicht siehe das Buch von LeVeque (Kapitel 8, 12 und 15); Für eine genauere und detailliertere Behandlung würde ich Dafermos vorschlagen .
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Ich habe hier nur wenig beizutragen, als darauf hinzuweisen, dass numerische Methoden, die Probleme mit hyperbolischen Gleichungen haben (und zur falschen Lösung konvergieren), normalerweise nicht auf Schocks beruhen. Vielmehr sind die Bereiche, mit denen sie Schwierigkeiten haben, Verdünnungswellen - bei denen die Lösung glatt ist.
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