Konstruktion einer / -konformen Finite-Elemente-Basis für Dreiecks- oder Tetraedernetze

In der Arbeit Hierarchical Conforming Finite-Elemente-Methoden für die biharmonische Gleichung behauptete P. Oswald, dass Elemente vom Clough-Tocher-Typ eine $C^1$ Kontinuität aufweisen und gleichzeitig ein kubisches Polynom auf jedem Dreieck sind. Er gab keine expliziten Basisfunktionen an, sondern nur die Standardfreiheitsgrade für die Quadraturpunkte.

In ähnlicher Weise geben uns die Autoren in dem Buch Die mathematische Theorie der Finite-Elemente-Methoden, Kapitel 3, die Konstruktion kubischer Hermite-Finite-Elemente, aber sie erwähnten nicht die Kontinuität der kubischen Hermite-Elemente.

In der Arbeit Differentialkomplexe und numerische Stabilität schlug Doulgas Arnold jedoch vor, für / konformen diskreten Raum die finiten Elemente des Hermite-Quintins (oder besser Argyris) zu verwenden, was sehr kompliziert explizit auszudrücken ist.$C^1$$H^2$

Also hier sind meine Fragen:

(1) Gibt es ein Papier, das eine explizite Formel für die / H ^ 2- konformen finiten Elemente auf einem dreieckigen oder tetraedrischen Netz enthält?$C^1$$H^2$

(2) Sollte stückweise kubisch der minimale Grad an Polynomen sein, der für die $C^1$ Kontinuität erforderlich ist ?

Die kubischen Hermite-Elemente haben eine kontinuierliche normale Ableitung, aber keine vollständige Kontinuität. Insbesondere stimmen die normalen Ableitungen möglicherweise nicht an der Grenze zweier Elemente außerhalb der Eckpunkte überein. Wenn Sie volle Kontinuität wünschen , müssen Sie das Argyris-Element oder Hsieh-Clough-Tucker oder etwas anderes verwenden. Ich empfehle die Diskussion in Kapitel 6 von Ciarlets Finite-Elemente-Buch.$C^1$$C^1$

Der Grad des Polynoms, der für die Kontinuität erforderlich ist, hängt von Ihrer räumlichen Dimension ab, aber in 2D oder 3D glaube ich nicht, dass Sie mit weniger als kubischen Polynomen davonkommen können. Sie könnten eine fehlerhafte Methode in Betracht ziehen, die einen einfacheren Finite-Elemente-Raum ermöglicht.$C^1$

Ich verweise Sie auf das Buch Splines on Triangulations . Ich kann meine Kopie im Moment nicht finden, um Ihnen eine bessere Antwort zu geben, aber ich erinnere mich an eine Diskussion / einen Satz über die Polynomreihenfolge, die für Räume erforderlich ist. Wenn ich mich richtig erinnere, beweist Lai, dass unter bestimmten Bedingungen in Ordnung ist, aber immer ausreicht.$C^1$$p=3$$p=5$

Leider erinnere ich mich auch daran, dass Lai dann nicht zeigt, wie man Räume konstruiert, sondern nur beweist, dass sie bei einer Triangulation und einem Spline-Raum existieren. Sobald er diesen Beweis hat, löst er seine Anwendung mit zusätzlichen linearen Beschränkungsgleichungen, um die Bedingung durchzusetzen .$C^1$$C^1$

Auf den folgenden Seiten finden Sie eine vollständige Liste der Basisfunktionen für Argyris: FEMList.pdf Wikipedia-Eintrag (Französisch)

Sie können auch das VT-ICAM ArgyrisPack verwenden , das ein Kollege und ich entwickelt haben.