Raviart-Thomas-Elemente auf dem Referenzquadrat

Ich möchte erfahren, wie das Raviart-Thomas (RT) -Element funktioniert. Zu diesem Zweck möchte ich analytisch beschreiben, wie die Basisfunktionen auf dem Referenzquadrat aussehen. Das Ziel hier ist nicht, es selbst zu implementieren, sondern nur ein intuitives Verständnis des Elements zu erlangen.

Ich stütze diese Arbeit größtenteils auf die hier diskutierten dreieckigen Elemente . Vielleicht ist es ein Fehler an sich, sie auf Vierecke auszudehnen.

Trotzdem kann ich die Basisfunktionen für das erste RK-Element RK0 definieren:

füri=1,…,

$$\mathbf{\phi}_i(\mathbf{x}) = \mathbf{a} + \mathbf{b}\mathbf{x} = \begin{pmatrix} a_1 + b_1 x\\a_2 + b_2 y\end{pmatrix}$$ $i = 1,\dots,4.$

Die Bedingungen für sind:$\mathbf{\phi}_i$

$$\mathbf{\phi}_i(\mathbf{x}_j)\cdot\mathbf{n}_j = \delta_{ij}$$

Dabei ist die unten gezeigte Einheitennormale und x j die Koordinate.$\mathbf{n}_j$$\mathbf{x}_j$

Dies ist das Referenzquadrat , was zu einem Gleichungssystem für jede Basisfunktion führt. Für ϕ 1 ist dies:$[-1,1]\times[1,1]$$\mathbf{\phi}_1$

$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & -1 & 0 & 1\\ -1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_1 \\ a_2\\ b_1\\ b_3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\0\\0\\0\end{pmatrix}$$

was gelöst werden kann, um zu geben:

$$\mathbf{\phi}_1(\mathbf{x}) = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 + x\\ 0\end{pmatrix}$$

Die anderen Basisfunktionen können ähnlich gefunden werden.

Unter der Annahme, dass dies korrekt ist, besteht der nächste Schritt darin, die Basisfunktionen für RK1 zu finden. Hier werde ich mir ein wenig unsicher. Laut dem obigen Link ist der Raum, an dem wir interessiert sind:

$$P_1(K) + \mathbf{x}P_1(K)$$

Eine Basis für wäre { 1 , x , y $P_1$$\{ 1, x, y\}$

Ich denke, dies bedeutet, dass die RK1-Basisfunktionen die Form annehmen sollten:

$$\mathbf{\phi}_i(\mathbf{x}) = \begin{pmatrix} a_1 + b_1 x + c_1 y + d_1 x^2 + e_1 xy\\ a_2 + b_2 x + c_2 y + d_2 xy + e_2 y^2\end{pmatrix}$$

Dies lässt 10 Unbekannte für jede Basisfunktion übrig. Wenn wir die gleichen Bedingungen wie im Fall RK0 anwenden, nämlich:

, wobei n j die Normaleinheit ist, wie unten gezeigt:

$$\mathbf{\phi}_i(\mathbf{x}_j)\cdot\mathbf{n}_j = \delta_{ij}$$ $\mathbf{n}_j$

Dies gibt uns 8 Gleichungen. Die anderen 2, denke ich, können von einigen Momenten gefunden werden. Ich bin mir nicht sicher, wie genau. Der obige Link spricht über die Integration gegen eine Basis für , aber ich habe Probleme herauszufinden, was das bedeutet. Bin ich auf dem richtigen Weg oder habe ich hier etwas komplett verpasst?$[P_1]^2$

Im Allgemeinen können Sie nicht einfach dieselbe Polynombasis von tetraedrischen auf viereckige Elemente übertragen. ¹ Insbesondere geht es bei viereckigen Elementen darum, mit Tensorprodukten eindimensionaler Polynome zu arbeiten, was für tetraedrische Elemente nicht möglich ist.

$RT_k$

$$P_{k+1,k} \times P_{k,k+1},$$ $$P_{k,l} = \left\{\sum_{i=0}^k\sum_{j=0}^l a_{ij} x^iy^j: a_{ij}\in\mathbb{R}\right\}.$$ $k=0$$k=1$ $$\begin{pmatrix} a_1 + b_1 x + c_1 x^2 + d_1 y + e_1 xy + f_2 x^2y\\ a_2 + b_2 y + c_2 y^2 + d_2 x + e_2 xy + f_2 xy^2 \end{pmatrix}.$$ $\dim RT_1 = 12$$\dim RT_k = 2(k+1)(k+2)$$RT_k$$k+1$

$$\int_{-1}^1 \int_{-1}^1 \phi_i(x,y) q_j(x,y) dx\,dx=\delta_{ij},$$ $\{q_j\}$$P_{k-1,k}\times P_{k,k-1}$$\{1,x,y\}$$k=1$ $$\int_{e_m} \phi_i(s)^T\nu_{e_m} \, q_{m,j}(s)\,ds,$$ $e_m$$\nu_{e_m}$$m$$q_{m,j}$$P_k(e_m)$$\{1,x\}$$\{1,y\}$$k=1$

$H(div)$

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_{$k$$k$$k$$k$$x^2y$$3$$2$}