Angenommen, ich hatte das folgende periodische 1D-Advektionsproblem:
Ω=[0,1]u(0,t)=u(1,t)u(x,0)=g(x)g(x)x∗∈(0,1) in
wobei eine Sprungdiskontinuität bei .
Nach meinem Verständnis treten bei linearen Finite-Differenzen-Schemata höherer Ordnung als erster Ordnung Störschwingungen nahe der Diskontinuität auf, wenn sie über die Zeit weitergeleitet werden, was zu einer Verzerrung der Lösung von ihrer erwarteten Wellenform führt. Laut Wikipedia-Erklärung scheinen diese Schwingungen typischerweise aufzutreten, wenn eine diskontinuierliche Funktion mit einer endlichen Fourier-Reihe angenähert wird.
Aus irgendeinem Grund kann ich nicht verstehen, wie eine endliche Fourier-Reihe in der Lösung dieser PDE beobachtet werden kann. Wie kann ich insbesondere eine Grenze für das "Over-Shoot" analytisch schätzen?
Die lineare Finite-Differenzen-Diskretisierung eines 1D-Problems mit periodischen Grenzen führt zu einer Diskretisierung der Form
wobei eine zirkulierende Matrix ist . Die Eigenvektoren einer zirkulierenden Matrix sind diskrete Fourier-Moden (hier ist der Gitterabstand und die Wellenzahl, die von Null bis zur höchsten im Gitter darstellbaren Wellenzahl reicht). Diese Eigenvektoren bilden eine Basis für alle Funktionen, die im Raster dargestellt werden können. Wenn Sie die Lösung in Form dieser diskreten Fourier-Modi ausdrücken, wird die numerische Methode diagonalisiert, dh jede Fourier-Komponente wird bei jedem Schritt mit einem (im Allgemeinen komplexen) Skalarfaktor multipliziert. Der Skalarfaktor wird oft als Verstärkungsfaktor bezeichnet, und was ich gerade beschrieben habe, ist als von Neumann-Analyse bekanntv j = exp ( i j h ξ ) h ξL
Schöne Erklärungen finden Sie zum Beispiel im Text von Strikwerda oder LeVeque .
quelle
Nicht alle Störschwingungen sind Gibbs-Phänomene. Sie sehen ähnlich aus, aber es gibt Gibbs-Oszillationen für alle endlichen Fourier-Näherungen diskontinuierlicher Funktionen (sie werden nur kleiner, wenn Sie mehr Terme hinzufügen). Während es nicht oszillierende Darstellungen diskontinuierlicher Funktionen gibt, die sich aus der Lösung endlicher Differenznäherungen an PDEs ergeben, die keine unendlichen Reihen erfordern.
Bathe ( Inf-sup-Test von Aufwindmethoden , PDF) hat eine Arbeit zu diesem Thema für Finite-Elemente-Methoden (Konvektionsdiffusion, IIRC) in 1-D, in der die Konstante für die - Bedingung berechnet und mit Oszillationen in Beziehung gesetzt wird . Sie könnten daraus einen Einblick gewinnen.inf sup
quelle
Was Ihre letzte Frage zum Zusammenhang zwischen endlichen Fourier-Reihen und Finite-Elemente-Näherung betrifft: Wenn Sie im Allgemeinen versuchen, eine Funktion mit einem Sprung auf einen endlichen dimensionalen Raum zu projizieren, dessen Basisfunktionen stetig sind, erhalten Sie das Gibbs-Phänomen. Dies gilt, wenn die Basis eine endliche Fourier-Reihe ist (wobei die Basisfunktionen die Sinus- und Cosinuswerte sind) oder wenn die Basis die üblichen Finite-Elemente-Hutfunktionen sind - dies ist eine Eigenschaft der Projektion plus die Ungeeignetheit der Basisfunktionen.
quelle
Ein Ansatz ist die äquivalente Gleichung, dh die Differentialgleichung, zu der Ihre diskrete Methode die nächste Annäherung ergibt. Dies ist niemals die Differentialgleichung, die Sie lösen wollten. Dann betrachten Sie die asymptotische Lösung der äquivalenten Gleichung für eine Schrittfunktion als Anfangsdaten. Schauen Sie sich Bouche, D., Bonnaud, G. und Ramos, D., 2003 an. Vergleich numerischer Schemata zur Lösung der Advektionsgleichung. Applied Mathematics Letters, 16 (2), S. 147-154.
quelle