Mathematisch gesehen, warum funktioniert das Zusammenfassen von Massenmatrix und Lastvektor?

Ich weiß, dass Menschen häufig konsistente Massenmatrizen durch gewürfelte Diagonalmatrizen ersetzen. In der Vergangenheit habe ich auch einen Code implementiert, bei dem der Lastvektor nicht auf FEM-konsequente Weise, sondern auf konzentrierte Weise zusammengesetzt wird. Aber ich habe nie darüber nachgedacht, warum wir das überhaupt dürfen.

Was ist die Intuition hinter Klumpen, die es einem erlaubt, sie auf Masse- und Lastvektoren anzuwenden? Was ist die mathematische Rechtfertigung dafür? In welchen Situationen ist das Zusammenfassen nicht erlaubt / keine gute Annäherung für Masse- und Lastvektoren?

Bei der Finite-Elemente-Methode werden die Matrixeinträge und die Einträge auf der rechten Seite als Integrale definiert. Wir können diese im Allgemeinen nicht genau berechnen und Quadratur anwenden. Es gibt jedoch viele Quadraturformeln, die man wählen kann, und man wählt sie oft so, dass (i) der durch die Quadratur verursachte Fehler in der gleichen Größenordnung wie der aufgrund der Diskretisierung oder zumindest nicht wesentlich schlechter ist, und (ii) Die Matrix hat bestimmte Eigenschaften, die sich als zweckmäßig herausstellen.

Ein Beispiel für diese Arbeitsweise ist das Massenklumpen: Wenn man eine bestimmte Quadraturformel wählt (nämlich die mit Quadraturpunkten an den Interpolationspunkten des finiten Elements), ist die resultierende Massenmatrix zufällig diagonal. Dies ist sehr praktisch für die rechnerische Implementierung und der Grund, warum diese Quadraturformeln verwendet werden. Es ist auch der Grund, warum es "funktioniert": Diese spezielle Wahl der Quadraturformel hat immer noch eine einigermaßen hohe Ordnung.

Diagonale Matrizen haben offensichtliche Vorteile bei der Beschleunigung numerischer Berechnungen, und die Antwort von Wolfgang Bangerth ist eine gute Erklärung für die Berechnung einer diagonalen Massenmatrix, sie beantwortet jedoch nicht die Frage des OP "Warum funktioniert das ? " Im Sinne von "Warum ist das?" es ist eine gute Annäherung an die Physik, die Sie modellieren ".

Konzeptionell können Sie die Reaktion eines Elements in drei Teile unterteilen: Translationsbewegung eines starren Körpers, starre Drehung um den Massenmittelpunkt des Elements und Verformung des Elements.

$\frac 1 2 v^T M v$$v$

$a$$a^3$$a^5$

Daher brauchen Sie wirklich nur eine "gute" Annäherung an die starren Körperteile der Bewegung, dh 6 DOFs, und tatsächlich konvergiert eine gute Annäherung an nur die KE aus der Starrkörper- Translation , dh 3 DOFs, wie die Elementgröße ist reduziert.

Die diagonalen Terme der Elementmatrix enthalten mehr als genug unabhängige Parameter, um diese 3 oder 6 KE-Terme mit ausreichender Genauigkeit darzustellen. Tatsächlich können Sie für Elemente höherer Ordnung Massendiagonale-Massenmatrizen verwenden, bei denen die diagonalen Terme für die Mittelknoten Null sind.

Es ist zu beachten, dass dies eine völlig andere Situation ist als die potentielle Energie des Elements, bei der die Beiträge der Translation und Rotation des starren Körpers Null sind und das Einzige, was zählt, die Dehnungsenergie darstellt, die der Deformation des Elements entspricht . Eine diagonale Steifigkeitsmatrix wäre daher keine realisierbare Idee!

Neben den anderen Antworten gibt es Szenarien, in denen Fehler in der Massenmatrix keinen Einfluss auf das gewünschte Ergebnis haben.

$K(u) \space u = f(u)$$\hat{u}$$K(u) \space u + C(u) \space \dot{u} + M \space \ddot{u} = f(u)$$M$$C$$\dot{u} = \ddot{u} = 0$$M$

$M$$M^{-1}$

^{1 Obwohl das Denken über dynamisches physikalisches Verhalten mit einer "richtigen" Massenmatrix natürlich einfacher ist - z. B. kann der Drehimpuls durch konzentrierte Massenmatrizen nicht ordnungsgemäß erhalten werden.}