Alternativen zur von-Neumann-Stabilitätsanalyse für Finite-Differenzen-Methoden

Ich arbeite an der Lösung der gekoppelten eindimensionalen Poroelastizitätsgleichungen (Biot-Modell), gegeben als:

$$-(\lambda+ 2\mu) \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial p}{\partial x} = 0$$ $$\frac{\partial}{\partial t} \left[ \gamma p + \frac{\partial u}{\partial x}\right] -\frac{\kappa}{\eta}\left[\frac{\partial^2 p}{\partial x^2}\right] =q(x,t)$$ in der Domäne und mit den Randbedingungen: $\Omega=(0,1)$

$p=0, (\lambda + 2\mu)\frac{\partial u}{\partial x}=-u_0$ bei und bei .u = 0 , ∂ $x=0$x=$u=0, \frac{\partial p}{\partial x} = 0$$x=1$

Ich habe diese Gleichungen mit einem zentrierten Finite-Differenzen-Schema diskretisiert:

&ggr;p t + 1 i -p t

$$(\lambda + 2\mu)\frac{u^{t+1}_{i+1}-2u^{t+1}_i+u^{t+1}_{i-1}}{\Delta x^2} + \frac{p^{t+1}_{i+1}-p^{t+1}_{i-1}}{2\Delta x} = 0$$ $$\gamma \frac{p^{t+1}_i-p^t_i}{\Delta t} + \frac{u^{t+1}_{i+1}-u^{t+1}_{i-1}}{2\Delta x \Delta t} -\left[ \frac{u^t_{i+1}-u^t_{i-1}}{2\Delta x \Delta t}\right] - \frac{\kappa}{\eta}\left[ \frac{p^{t+1}_{i+1} -2p^{t+1}_i + p^{t+1}_{i-1}}{\Delta x^2}\right]=q^{t+1}_i$$

Ich arbeite derzeit an den Details der Konvergenz des Schemas, indem ich dessen Konsistenz und Stabilität analysiere. Der Konsistenzteil scheint mir ziemlich einfach zu sein, aber ich sehe bereits einige Schwierigkeiten mit der Stabilitätsanalyse. Zunächst gibt es zwei Variablen und zwei Gleichungen. Zweitens gibt es in der zweiten Gleichung auch einen gemischten raumzeitlichen abgeleiteten Term. Ich kenne die Stabilitätsanalyse von Neumann und kann sehen, dass es sehr schwierig sein wird, mit dieser Methode Stabilität herzustellen. Gibt es Alternativen zur von neumann-Analyse, die ich verwenden kann?

Wenn Sie, zumindest für Ihre Analyse, ersetzen, vonuxkönnen Sie Ihr System als[ 0 0 I I ]dschreiben $\frac{\partial u}{\partial x}$$u_x$ wo alle Konstanten auf 1 gesetzt sind und wo der Index

$$\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ I & I \end{bmatrix} \frac{d}{dt} \begin{bmatrix} p_h(t) \\ u_{x,h}(t) \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} -\partial_h & \partial_h \\ -\Delta_h & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} p_h(t) \\ u_{x,h}(t) \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} q_h(t) \\ 0 \end{bmatrix} \quad (*)$$ $1$ bezieht sich auf die Raumdiskretisierung sowohl der Variablen als auch der Differentialoperatoren. Ihr Schema wird dann erhalten, indem man d approximiert${}_h$ über implizite Euler.$\frac{d}{dt}$

Nun ist die differentiell-algebraische (DAE) Struktur offensichtlich. Für die Variablen gibt es sowohl Differentialgleichungen (in der Zeit) als auch algebraische Gleichungen.

Wenn Sie zeigen können, dass invertierbar ist, vgl. dieser Vorabdruck [S. 3] und die folgende Bearbeitung, als der DAE Index 1 oder Fremdheit-frei ist und implizite Euler bekannt ist, konvergent zu sein, siehe Theorem 5.12 in diesem Buch . (Haftungsausschluss: Dieses Buch ist nicht frei verfügbar und wird von meinem Doktorvater verfasst.)$\begin{bmatrix} -\partial_h & \partial_h \\ I & I \end{bmatrix}$

Mit diesem Ansatz können Sie die Stabilitätsanalyse umgehen.

$L^2$$(*)$$\Delta_h$$\partial_h$

$(*)$$u\leftarrow u_x$

ANHANG: Eine DAE wird als Index 1 bezeichnet, wenn sie ohne Differenzierung der Gleichungen in eine ODE umgewandelt werden kann.

$$\begin{bmatrix} E_1 \\ 0 \end{bmatrix}\dot y + \begin{bmatrix} A_1 \\ A_2 \end{bmatrix} y = f.$$ $\begin{bmatrix} E_1 \\ A_2 \end{bmatrix}$$\tilde y \to y$$\begin{bmatrix} E_1 \\ A_2 \end{bmatrix} \to \begin{bmatrix} \tilde E_{11} & \tilde E_{12} \\ \tilde A_{21} & \tilde A_{22} \end{bmatrix}$$\tilde A_{22}$$A_2$$\tilde A_{11} - \tilde E_{12} \tilde A_{22}^{-1} \tilde A_{21}$

$(*)$$A_2:=[-\partial_h ~ \partial_h]$$\tilde y_2$$(p_h,u_{x,h})$$\frac{d}{dt}\tilde y_2$$(*)$

Die hier angegebenen Gleichungen sind mir nicht bekannt, aber ich erinnere mich, dass ich in meinem Kurs eine andere Methode zur Überprüfung der Stabilität eines numerischen Schemas gelernt habe. Es ist als Modified Equation Analysis bekannt.

Hier ist eine gute Referenz dafür,

http://193.146.160.29/gtb/sod/usu/$UBUG/repositorio/10291890_Warming.pdf

In der obigen Literaturstelle wird der Zusammenhang zwischen der auf der Analyse der modifizierten Gleichung basierenden Stabilitätstheorie und der Stabilitätsanalyse nach Von Neumann hergestellt.

Nach einer kurzen Online-Suche stieß ich auf folgende Referenzen:

In diesem Artikel wird die Finite-Differenz-Modellierung von Biots poroelastischen Gleichungen bei seismischen Frequenzen erörtert. Es gibt auch einen Abschnitt zur Stabilität des numerischen Schemas.

Dieses Papier stellt eine Lösungsstrategie des gekoppelten Systems zu entkoppeln, und die Stabilität des numerischen Verfahrens zu überprüfen.