Beispiele für Helmholtz- und Biharmonische Gleichungen mit exakter Lösung

Ich suche nach Beispielen für Helmholtz- und Biharmonische Gleichungen in kartesischen Koordinaten mit exakten Lösungen, um meine numerischen Lösungen damit zu vergleichen.

Im Internet konnte ich einige Beispiele finden, bei denen das Problem mit den Randbedingungen genau definiert war. Dies waren leider nur anschauliche Beispiele und genaue Lösungen wurden nicht gezeigt.

Ich wurde ermutigt, die Lösung herzustellen (wie auf math.stackexchange.com , und das habe ich erfolgreich gemacht). Ich befürchtete in diesem Fall, dass einige interessante Beispiele, von denen die Spezialisten für PDEs wissen, nicht behandelt würden, wie einige Lösungen, die durch unendliche Reihen gegeben sind (die ich abschneiden würde, wenn ein gewisses Maß an Genauigkeit erreicht ist). Interessant ist beispielsweise der Artikel in Wikipeda über elliptische BVPs .

Ein bestimmtes Beispiel oder ein nützlicher Link zu einer Webseite oder einem Papier wird geschätzt.

Suchen Sie nach dem Buch Vibration of Plates von Arthur Leissa. Es gibt explizite Lösungen für quadratische und kreisförmige Platten. Einschließlich Tabellen mit angenähertem Eigenwert für verschiedene Randbedingungen.

Lässt eine achsenausgerichtete rechteckige Box (Länge / Breite / Höhe = a / b / c) mit Dirichlet-Randbedingungen ( ) an den Wänden eine geschlossene Form / exakte Lösung zu? Möglicherweise ist ein Tensorprodukt von Sinuskurven, z. B. ϕ ( x , y , z ) = s i n ( k x x ) s i n ( k y y ) s i n ( k z z ) . Wählen Sie k x / k y / k $\phi=0$$\phi(x,y,z) = sin(k_x x)sin(k_y y)sin(k_z z)$$k_x/k_y/k_z$mit Bedacht, um die Dirichlet-Bedingung zu realisieren, z. B. , k y = m π / b , k z = p π / c für einige ganze Zahlen (n, m, p). Stecken Sie diese Lösung in das d i $k_x = n\pi/a$$k_y = m\pi/b$$k_z = p\pi/c$ Operator, dann die resultierende Gleichung, d i $div \, grad$ sollte die Trennungsbedingung für k x , k y , k z geben (wahrscheinlich k 2 x + k 2 y + k 2 z = k 2 ).$div\,grad \, \phi = k^2 \phi$$k_x,k_y,k_z$$k_x^2+k_y^2+k_z^2=k^2$

Dies ist ein Standardtarif für die Vektorwellengleichung / Maxwell-Gleichungen (Elektromagnetik). Ich habe nicht viel mit der skalaren Helmholtz-Gleichung herumgespielt, aber ich würde erwarten, dass sie sehr ähnlich funktioniert. Für elektromagnetische Resonatoren / den VWE würde ich Balanis '"Advanced Engineering Electromagnetics" empfehlen. Es gibt wahrscheinlich eine vergleichbare Referenz für die skalare Helmholtz-Gleichung (vielleicht ein Akustik-Text für Hochschulabsolventen?), Aber ich würde nicht wissen, was es ist.

Ich habe keine Erfahrung mit der biharmonischen Gleichung.