Referenzanforderung: Strenge Analyse von Algorithmen für PDE und ODE

Ich interessiere mich für Vorschläge für Buchreferenzen zum Thema numerische PDE und ODE, insbesondere für eine strenge Analyse solcher Methoden in einer für professionelle Mathematiker geschriebenen Weise. Es muss nicht sehr umfassend sein, um Hunderte oder Tausende verschiedener Methoden aufzulisten, aber ich würde mich für etwas interessieren, das zumindest die meisten Schlüsselkonzepte abdeckt, die moderne Techniken leiten.

Ich denke, es wäre richtig, Analogien zu Lehrbüchern über numerische lineare Algebra zu ziehen, mit denen ich besser vertraut bin. Ich bin auf der Suche nach Stabilitäts- und Kürzungsfehlern in numerischen Differentialgleichungen, da Highams Genauigkeit und Stabilität numerischer Algorithmen Stabilitäts- und Rundungsfehler in der numerischen linearen Algebra betrifft, und nach modernen Techniken in ODE und PDE wie Golub und Van Loans Matrixberechnungen diskutieren die meisten Haupttypen von Techniken für die lineare Algebra.

Ich weiß eigentlich sehr wenig über numerische ODE und PDE. Ich habe eine Reihe von Online-Notizen gelesen und das Buch Finite Difference Methods for Ordinary and Partial Differential Equations von Randall LeVeque, das ein klares Buch ist, aber für meine Zwecke nicht ausführlich genug. Als konkreteres Beispiel für das Niveau, das ich suche, würde ich hoffen, dass jeder Abschnitt über elliptische und parabolische Gleichungen davon ausgeht, dass der Leser mit der Theorie der Sobolev-Räume und ihrer Einbettungen sowie mit schwachen Lösungen für PDE vollständig vertraut ist und Ergebnisse verwendet aus dieser Theorie ziemlich frei bei der Ableitung von Fehlerschätzungen für finite Elemente usw.

Sie werden keine einzige Referenz finden, die systematisch die Analyse aller wichtigen Methoden für PDE abdeckt. Das Gebiet der Diskretisierungstechniken für PDE ist mindestens eine Größenordnung größer als jedes der oben genannten Themen. Für alle Methoden, die implizite Lösungen beinhalten, ist das Studium von Diskretisierungen ohne Berücksichtigung von Lösungsmethoden (z. B. zugehörige Multigrid-Methoden) eine bewährte Methode, um sich in die "hoffnungslos unpraktische" Ecke zu malen.

Vermutlich kennen Sie Brenner und Scott, Die mathematische Theorie der Finite-Elemente-Methoden . Es handelt sich um einen Text für Hochschulabsolventen, und obwohl er einen Teil der Einführung enthält, können Sie schnell zu den wichtigen Ergebnissen gelangen.

Eine gute Quelle für eine Posteriori- Fehleranalyse in FEM ist das Übersichtsartikel Ainsworth und Oden, A posteriori-Fehlerschätzung in der Finite-Elemente-Analyse , 1997 .

Für Methoden mit endlichem Volumen könnte Ihnen das Acta Numerica-Papier Morton and Sonar, Methoden mit endlichem Volumen für hyperbolische Erhaltungsgesetze , 2007 , gefallen . In den Zeitungen von Acta Numerica wird dies nicht sehr häufig zitiert. Ich vermute, das liegt zum Teil daran, dass LeVeques Buch sehr gut ist und dass die meisten Praktizierenden, die sein Buch nicht benutzt haben, mit vielen der Originalquellen vertraut sind. Obwohl ich damit nicht vertraut bin, könnten Sie sich auch Bouchut, Nichtlineare Stabilität endlicher Volumenmethoden für hyperbolische Erhaltungsgesetze, ansehen .

Ich stimme Jeds Standpunkt zu, wie wichtig es ist, Löser gleichzeitig mit Diskretisierungen zu berücksichtigen. Dies ist etwas, was "reinere" Mathematiker manchmal nicht tun, sehr zu ihrem Nachteil, da sie das falsche Problem lösen . Dinge wie die Blockstruktur, das Sparsity-Muster und die Fähigkeit, Vorkonditionierer zu bauen, sind in der Regel viel wichtiger als einfache Dinge wie die Anzahl der Freiheitsgrade / die Maschengröße.

Brezzi & Fortin - "Mixed and Hybrid Finite Element Methods" behandelt Material, das zu Brenner und Scott komplementär ist. Es ist jedoch vergriffen und die Leute hängen wirklich an ihren Kopien. Wenn Sie also nicht mehrere hundert Dollar bezahlen möchten, müssen Sie es wahrscheinlich aus Ihrer Bibliothek ausleihen.

Die Reihe von Arbeiten von Rannacher et al. In den frühen 2000er Jahren wie "Ein optimaler Kontrollansatz für eine Posteriori-Fehlerschätzung bei Finite-Elemente-Methoden" bietet ein tieferes und umfassenderes Verständnis einer Posteriori-Fehlerschätzung als das, was in Ainsworth und Oden's erklärt wird Buch (meiner Meinung nach).

Sobolev-Räume sind nicht die A und O-Funktionsräume für PDEs, obwohl Sie möglicherweise den Eindruck haben, einführende Bücher für Hochschulabsolventen wie Evans zu lesen. Besov-Räume sind allgemeiner und sehr schön und zwingen Sie dazu, darüber nachzudenken, wie und warum bestimmte Funktionsräume konstruiert werden, indem Sie grundlegende Bausteine ​​steuern, um Einschränkungen für Oszillation, Integrierbarkeit und Multiskalenstruktur bereitzustellen. Ein schöner "philosophischer" Artikel zum Thema Funktionsräume ist Terry Taos Beitrag hier . Triebels Buch "Theory of Function Spaces II" (hauptsächlich über Besov-Räume) ist großartig! Es gibt eine tiefe Verbindung zwischen Besov-Räumen und Wavelets, daher ist DeVores gut lesbarer Artikel über Wavelets nützlich.

Zusätzlich zu Jeds großartigen Empfehlungen (ich kann persönlich für Brenner + Scott als großartiges Finite-Elemente-Intro-Buch bürgen) ist Butcher ein ausgezeichnetes Buch für die numerische Lösung von ODEs:

http://books.google.com/books/about/Numerical_Methods_for_Ordinary_Different.html?id=opd2NkBmMxsC

Das war für eine Weile meine Bibel, bis meine Universitätsbibliothek sie zurückrief.

Auch Ern + Guermond könnte für Sie ein wertvolles Buch sein, wenn Sie bereits mit der heiklen Mathematik vertraut sind

http://books.google.com/books/about/Theory_and_Practice_of_Finite_Elements.html?id=CCjm79FbJbcC

Nachdem ich einige Artikel von Ern + Guermond gelesen habe, kann ich sagen, dass sie definitiv zu starkem Formalismus tendieren. Die Kapitel sind mehr oder weniger in sich geschlossene Modulo-Notationen, die Sie möglicherweise umdrehen müssen, um die Definition von zu erhalten.

Für PDEs ist D. Braess, Finite Elemente , Cambridge University Press, 2007 , ein Buch mit einem ähnlichen funktional-analytischen Geschmack wie Ern und Guermond . Da es sich eher um ein Lehrbuch als um eine Forschungsmonographie handelt, ist es zugänglicher, wenn auch weniger umfassend. Andererseits werden auch Anwendungen (hauptsächlich in Bezug auf Elastizität) erörtert.

In Bezug auf ODEs glaube ich, dass die Bibel immer noch das dreibändige Werk von Hairer und Wanner ist ( Lösen von ODEs I , Lösen von ODEs II und Geometric Numerical Integration ).

Vergessen Sie nicht die vielen hervorragenden Vorlesungsunterlagen, die im Internet verfügbar sind.