Wie kann die schwache Formulierung einer partiellen Differentialgleichung für die Finite-Elemente-Methode abgeleitet werden?

Ich habe eine grundlegende Einführung in die Finite-Elemente-Methode gegeben, in der ein differenziertes Verständnis einer „schwachen Formulierung“ nicht betont wurde. Ich verstehe, dass wir mit der Galerkin-Methode beide Seiten der (elliptischen) PDE mit einer Testfunktion multiplizieren und dann integrieren (nach Teilen oder nach dem Divergenzsatz). Manchmal musste ich Teile zweimal integrieren, bevor ich zu der entsprechenden schwachen Formulierung kam (basierend auf der Antwort am Ende des Buches). Aber wenn ich versuche, dasselbe Konzept auf andere PDEs anzuwenden (sagen wir, sie sind immer noch zeitunabhängig), kann ich anscheinend nicht erkennen, wann die Formulierung für die Diskretisierung geeignet ist. Gibt es eine rote Flagge, die mir sagen kann, dass DIESES FORMULAR in ein lineares Gleichungssystem diskretisiert werden kann?

Wie wähle ich außerdem einen geeigneten Satz von Basisfunktionen aus?

Fragen Sie sich Folgendes:

Erstens, wie wirkt sich die Teilintegration auf die Lösbarkeit des Problems und den Raum der Lösungen aus?

Zweitens, für welchen Funktionsraum können Sie eine Reihe von Teilräumen (die ansatz-Funktionen) erstellen, die Sie implementieren können?

f ∈ L 2 [ 0 , 1 ] L 2 & phiv; ∈ L $u'' = f$$f \in L^2$$[0,1]$$L^2$$\phi \in L^2$

φ ↦ ∫ f φ d $\phi \mapsto \int u'' \phi dx$ und$\phi \mapsto \int f \phi dx$

Da jede Funktion in kann -approximated durch glatte Funktionen mit kompaktem Träger, die beide integral Funktionalen vollständig bekannt sind , wenn Sie die Werte für alle Testfunktionen kennen. Mit den Testfunktionen können Sie jedoch die Integration nach Teilen durchführen und die linke Seite in die Funktion umwandelnL $L^2$$L^2$

$\phi \mapsto -\int u' \phi' dx$

Lesen Sie dies als: "Ich nehme eine Testfunktion , berechne ihr Differential und integriere es mit -u 'über [0,1] und gebe Ihnen das Ergebnis zurück." Diese Funktion ist jedoch nicht definiert und auf , da Sie nicht das Differential einer beliebigen Funktion nehmen können. Sie können im Allgemeinen äußerst seltsam aussehen.L 2 L $\phi$$L^2$$L^2$

Trotzdem beobachten wir, dass diese Funktion auf den Sobolev-Raum ausgedehnt werden kann , und es ist sogar eine begrenzte Funktion für . Das bedeutet, dass Sie bei den Wert von grob durch ein Vielfaches der -Norm von schätzen können . Und außerdem ist das funktionale natürlich nicht nur auf definiert und begrenzt, sondern auch auf definiert und begrenzt .$H^1$$H_0^1$$\phi \in H_0^1$$\int -u' \phi' dx$$H_0^1$$\phi'$$\phi \mapsto \int f \phi dx$$L^2$$H_0^1$

Nun können Sie zB das Lax-Milgram-Lemma anwenden, wie es in jedem PDE-Buch vorkommt. Ein Finite-Elemente-Buch, das es auch beschreibt, nur mit Funktionsanalyse, ist zB der Klassiker von Ciarlet oder das eher neue Buch von Braess.

Das Lax-Milgram-Lemma bietet PDE-Leuten ein nützliches Werkzeug für die reine Analyse, aber sie setzen auch viel fremde Werkzeuge für ihren Zweck ein. Diese Werkzeuge sind jedoch auch für numerische Analysen relevant, da Sie tatsächlich eine Diskretisierung für diese Räume erstellen können.

Um zum Beispiel einen diskreten Unterraum von , nehmen Sie einfach die Hat-Funktionen. Sie haben keine Sprünge und sind stückweise differenzierbar. Ihr Differential ist ein stückweise konstantes Vektorfeld. Diese Konstruktion funktioniert in , was in Ordnung ist, aber Sie können sich einen Ansatzraum ausdenken, dessen Funktionen nicht nur ein Gefälle haben (das ist schön, dh quadratisch integrierbar), sondern auch Wessen Steigungen weisen wiederum eine Divergenz auf? (wieder quadratisch integrierbar). Das ist im Allgemeinen ziemlich schwer.$H_0^1$$d=1,2,3,...$

Der Grund, warum Sie im Allgemeinen schwache Formulierungen erstellen, ist, dass Sie das Lax-Milgram-Lemma anwenden und eine Formulierung haben möchten, bei der die Funktionen tatsächlich implementiert werden können. (Weder ist Lax-Milgram das letzte Wort in diesem Zusammenhang, noch ist ansatz das letzte Wort in der Diskretisierung, siehe z. B. Diskontinuierliche Galerkin-Methoden.)$H_0^1$

Für den Fall von gemischten Randbedingungen kann der natürliche Testraum von Ihrem Suchraum (in der analytischen Einstellung) abweichen, aber ich habe keine Ahnung, wie ich das beschreiben soll, ohne auf die Verteilungstheorie Bezug zu nehmen. Deshalb höre ich hier auf. Ich hoffe das ist hilfreich.