Warum für komplexe Werte ein komplexes Konjugat in Faltung verwenden?

Entnommen aus der Adaptiven Filtertheorie (2014) von Haykin Seite 110:

y (n) = \sum_{k = 0}^{\infty} w_{k}^{*} u (n - k), n = 0, 1, 2, . . .

$y(n) = \sum_{k=0}^{\infty} w_k^*u(n-k), \quad n=0,1,2,...$

wobei $u$ und $w$ komplexe Werte sind. Meine Frage ist, warum komplexes Konjugat von $w_k$ ? Die im Buch gefundene Antwort lautet: "... in der komplexen Terminologie repräsentiert der Ausdruck $w_k^*u(n-k)$ die skalare Version eines inneren Produkts des Filterkoeffizienten $w_k$ und des Filtereingangs $u(n-k)$ " . Ich verstehe immer noch nicht, können Sie diese Antwort näher erläutern?

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Antworten:

Es stellt sich heraus, dass Faltung und Korrelation eng miteinander verbunden sind. Für reale Signale (und endliche Energiesignale):

Faltung: $\qquad y[n] \triangleq h[n]*x[n] = \sum\limits_{m=-\infty}^{\infty} h[n-m] \, x[m]$

Korrelation: $\qquad R_{yx}[n] \triangleq \sum\limits_{m=-\infty}^{\infty} y[n+m] \, x[m] = y[-n]*x[m]$

In metrischen Räumen verwenden wir jetzt gerne diese Notation:

R_{x y} [n] ≜ ⟨ x [m], y [n + m] ⟩ = \sum_{m = - \infty}^{\infty} x [m] y [n + m]

$R_{xy}[n] \triangleq \Big\langle x[m], y[n+m] \Big\rangle = \sum\limits_{m=-\infty}^{\infty}x[m] y[n+m]$

Die $\langle \mathbf{x},\mathbf{y} \rangle$ ist das innere Produkt der Vektoren $\mathbf{x}$ und $\mathbf{y}$ , wo $\mathbf{x} =\{x[n]\}$ und $\mathbf{y} =\{y[n]\}$ . Dann definieren wir auch gerne dieNormeines Vektors als

\begin{aligned} ‖ x ‖ & ≜ \sqrt{⟨ x, x ⟩} \\ = \sqrt{\sum_{m = - \infty}^{\infty} x [m] x [m]} \\ = \sqrt{\sum_{m = - \infty}^{\infty} x^{2} [m]} \end{aligned}

$\begin{align} \| \mathbf{x} \| &\triangleq \sqrt{\big\langle \mathbf{x},\mathbf{x} \big\rangle} \\ &= \sqrt{\sum\limits_{m=-\infty}^{\infty}x[m] x[m]} \\ &= \sqrt{\sum\limits_{m=-\infty}^{\infty}x^2[m]} \\ \end{align}$

und das sieht der euklidischen Länge eines Vektors mit einer unendlichen Anzahl von Dimensionen sehr ähnlich. All dies funktioniert sehr gut für den Fall, dass die Elemente $x[n]$ des Vektors $\mathbf{x}$ alle real sind. Die Norm $\| \mathbf{x} \|$ ist immer real und nicht negativ.

Wenn wir also die Elemente von $\mathbf{x}$ verallgemeinern und zulassen , dass sie einen komplexen Wert haben, dann soll dieselbe Definition der Norm verwendet werden,

‖ x ‖ ≜ \sqrt{⟨ x, x ⟩}

$\| \mathbf{x} \| \triangleq \sqrt{\big\langle \mathbf{x},\mathbf{x} \big\rangle}$

dann muss die Definition des inneren Produkts ein wenig geändert werden:

⟨ x, y ⟩ = \sum_{m = - \infty}^{\infty} x [m] y^{*} [m]

$\Big\langle \mathbf{x},\mathbf{y} \Big\rangle = \sum\limits_{m=-\infty}^{\infty}x[m] y^*[m]$

Wenn $\mathbf{x}$ komplexwertige Elemente hat, lautet die Norm wie folgt:

\begin{aligned} ‖ x ‖ & ≜ \sqrt{⟨ x, x ⟩} \\ = \sqrt{\sum_{m = - \infty}^{\infty} x [m] x^{*} [m]} \\ = \sqrt{\sum_{m = - \infty}^{\infty} | x [m] |^{2}} \end{aligned}

$\begin{align} \| \mathbf{x} \| &\triangleq \sqrt{\big\langle \mathbf{x},\mathbf{x} \big\rangle} \\ &= \sqrt{\sum\limits_{m=-\infty}^{\infty}x[m] x^*[m]} \\ &= \sqrt{\sum\limits_{m=-\infty}^{\infty}\Big|x[m]\Big|^2} \\ \end{align}$

Offensichtlich führt Haykin diese Definition des inneren Produkts nur zurück zur Definition der Faltung.

robert bristow-johnson
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Die Verwendung des Konjugats bei der Bildung des adaptiven Filters ist nicht erforderlich. Wenn Sie die Ausgabe jedoch nicht mit einem Konjugat schreiben, können Sie leicht vergessen, dass die Variablen, mit denen Sie sich befassen, komplex sind. Wenn Sie schreiben

h (n) = \sum_{k = 0}^{\infty} w_{k} (n) u (n - k)

$h(n)=\sum_{k=0}^{\infty}w_k(n)u(n-k)$ dann ist es nicht klardass Sie mit komplexen Mengen handeln.

Wie Robert bereits betont hat, muss die Definition der Korrelation aktualisiert werden, um komplexe Daten verarbeiten zu können, wenn Sie es gewohnt sind, sie nur für reale Daten definiert zu sehen.

$J(w)$ $E[e^*(n)e(n)]$ $w$

$w$ $w^*$ $w$ $w^*$

J (w) = F (w, w^{*})

$J(w) = F(w,w^*)$

$w$ $w^*$

\frac{\partial F (w, w^{*})}{\partial w} = \frac{\partial F (w, w^{*})}{\partial w^{*}} = 0

$\frac{\partial F(w,w^*)}{\partial w } = \frac{\partial F(w,w^*)}{\partial w^* }= 0$

\frac{\partial F (w, w^{*})}{\partial w} = 0 ⟺ \frac{\partial F (w, w^{*})}{\partial w^{*}} = 0

$\frac{\partial F(w,w^*)}{\partial w } =0 \iff \frac{\partial F(w,w^*)}{\partial w^* }= 0$

Damit müssen Sie nur eine dieser Gleichungen lösen.

Ausführliche Informationen finden Sie unter:

"Ein komplexer Gradientenoperator und seine Anwendung in der adaptiven Array-Theorie", Brandwood 1983, Kommunikation, Radar- und Signalverarbeitung, IEE Proceedings F.
"Der komplexe Gradientenoperator und der CR-Kalkül" Kreutz-Delgado hier
"Komplexer Gradient und Hessisch", van den Bos, 1994, Vision, Bild- und Signalverarbeitung, IEE Proceedings

Für die Theorie der adaptiven Filter bevorzuge ich die Präsentation in "Fundamentals of Adaptive Filtering" von Ali Sayed. Er präsentiert eine einheitliche Ableitung von LMS-, NLMS-, RLS-, APA- und Gitterfiltern.

David
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