Einseitige Chebyshev-Ungleichung für höhere Momente

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Gibt es eine Analogie zu den Ungleichungen von Chebyshev im einseitigen Fall?

Die Chebyshev-Cantelli-Ungleichung scheint nur für die Varianz zu funktionieren, während die Chebyshevs-Ungleichung leicht für alle Exponenten erzeugt werden kann.

Kennt jemand eine einseitige Ungleichung, die die höheren Momente nutzt?

Andreas Müller
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Antworten:

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Zur Vereinfachung sei eine kontinuierliche Zufallsvariable mit dem Mittelwert Null und der Dichtefunktion f ( x ) und sei P { X a } mit a > 0 . Wir haben P { X a } = a f ( x )Xf(x)P{Xein}ein>0 wobei g ( x ) = 1 [ a , ) . Ist n einegeradeganze Zahl und b eine positive reelle Zahl, so ist h ( x ) = ( x + b

P{Xein}=einf(x)dx=-G(x)f(x)dx=E[G(X)]
G(x)=1[ein,)nb und so E[h(X)]=- h(x)f(x)
h(x)=(x+bein+b)nG(x),-<x<,
So haben wirdass für alle positiven reellen Zahlen a und b , P { X a } E [ ( X + b
E[h(X)]=-h(x)f(x)dx-G(x)f(x)dx=E[G(X)].
einb wo die am weitesten rechts liegende Erwartung in(1)das istn-ten Zeitpunkt (ngerade) vonXüber-b. Wennn=2 ist, wird die kleinste Obergrenze von P{Xa}erhalten, wennb=σ2 ist
(1)P{Xein}E[(X+bein+b)n]=(ein+b)-nE[(X+b)n]
(1)nnX-bn=2P{Xein} mit der einseitigen Chebyshev-Ungleichung (oder Chebyshev-Cantelli-Ungleichung): P { X a } σ 2b=σ2/ein Für größere Werte vonnist die Minimierung in Bezug aufbunordentlicher.
P{Xein}σ2ein2+σ2.
nb
Dilip Sarwate
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