Einseitige Chebyshev-Ungleichung für höhere Momente

Gibt es eine Analogie zu den Ungleichungen von Chebyshev im einseitigen Fall?

Die Chebyshev-Cantelli-Ungleichung scheint nur für die Varianz zu funktionieren, während die Chebyshevs-Ungleichung leicht für alle Exponenten erzeugt werden kann.

Kennt jemand eine einseitige Ungleichung, die die höheren Momente nutzt?

Zur Vereinfachung sei eine kontinuierliche Zufallsvariable mit dem Mittelwert Null und der Dichtefunktion f ( x ) und sei P { X ≥ a } mit a > 0 . Wir haben P { X ≥ a } = ∫ ∞ a f ( x $X$$f(x)$$P\{X \geq a\}$$a > 0$ wobei g ( x ) = 1 [ a , ∞ ) . Ist n einegeradeganze Zahl und b eine positive reelle Zahl, so ist h ( x ) = ( x +

$$P\{X \geq a\} = \int_a^{\infty}f(x)\,\mathrm dx = \int_{-\infty}^{\infty}g(x)f(x)\,\mathrm dx = E[g(X)]$$ $g(x) = \mathbf 1_{[a,\infty)}$$n$$b$ und so E[h(X)]=∫ ∞ - ∞ h(x)f(x $$h(x) = \left(\frac{x+b}{a+b}\right)^n \geq g(x), -\infty < x < \infty,$$ So haben wirdass für alle positiven reellen Zahlen a und b , P { X ≥ a } ≤ E [ ( X + $$E[h(X)] = \int_{-\infty}^{\infty} h(x)f(x)\,\mathrm dx \geq \int_{-\infty}^{\infty}g(x)f(x)\,\mathrm dx = E[g(X)].$$ $a$$b$ wo die am weitesten rechts liegende Erwartung in(1)das istn-ten Zeitpunkt (ngerade) vonXüber-b. Wennn=2 ist, wird die kleinste Obergrenze von P{X≥a}erhalten, wennb=σ $$P\{X \geq a\} \leq E\left[\left(\frac{X+b}{a+b}\right)^n\right] = (a+b)^{-n}E[(X+b)^n]\tag{1}$$ $(1)$$n$$n$$X$$-b$$n = 2$$P\{X \geq a\}$ mit der einseitigen Chebyshev-Ungleichung (oder Chebyshev-Cantelli-Ungleichung): P { X ≥ a } ≤ σ $b = \sigma^2/a$ Für größere Werte vonnist die Minimierung in Bezug aufbunordentlicher. $$P\{X \geq a\} \leq \frac{\sigma^2}{a^2 + \sigma^2}.$$ $n$$b$