Ist die Summe einer großen Anzahl unabhängiger Cauchy-Zufallsvariablen normal?

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Nach dem zentralen Grenzwertsatz tendiert die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Summe einer großen unabhängigen Zufallsvariablen zu einer Normalen. Können wir daher sagen, dass die Summe einer großen Anzahl unabhängiger Cauchy-Zufallsvariablen ebenfalls normal ist?

random-variable central-limit-theorem cauchy urwaCFC
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Was sind die Hypothesen der Version des zentralen Grenzwertsatzes, die Sie gelernt haben?
Brian Borchers

Antworten:

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Nein.

Ihnen fehlt eine der zentralen Annahmen des zentralen Grenzwertsatzes:

... Zufallsvariablen mit endlichen Varianzen ...

Die Cauchy-Verteilung hat keine endliche Varianz.

Die Cauchy-Verteilung ist ein Beispiel für eine Verteilung, für die kein Mittelwert, keine Varianz oder höhere Momente definiert sind.

Eigentlich

Wenn unabhängige und identisch verteilte Zufallsvariablen mit jeweils einer Standard-Cauchy-Verteilung sind, hat der Stichprobenmittelwert dieselbe Standard-Cauchy-Verteilung.X1,…,XnX1+⋯+Xnn

Die Situation in Ihrer Frage ist also ziemlich eindeutig. Sie erhalten immer wieder die gleiche Cauchy-Verteilung zurück.

Das ist das Konzept einer stabilen Verteilung, oder?

Ja. Eine (streng) stabile Verteilung (oder Zufallsvariable) ist eine Verteilung, für die jede lineare Kombination von zwei iid-Kopien proportional zur ursprünglichen Verteilung verteilt wird. Die Cauchy-Verteilung ist in der Tat streng stationär.aX1+bX2

(*) Zitate aus Wikipedia.

Matthew Drury
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Wow. Ich sollte mein CLT-Konzept auffrischen. Vielen Dank für die Antwort.
urwaCFC
Das Cauchy ist ein wirklich gutes Beispiel in diesem Raum. Es gibt gerade genug Masse in den Schwänzen, dass die Mittelung sie nicht in Richtung des Mittelwerts zieht, aber nicht genug, dass Ausreißer bewirken, dass sich Masse in den Schwänzen ansammelt. Es befindet sich direkt an der Grenze, an der das CLT ausfällt.
Matthew Drury
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"Es ist genau an der Grenze, an der das CLT ausfällt." Nicht ganz - eine Verteilung mit 2 Freiheitsgraden hätte endlich, aber unendlich, während der Cauchy keine hat. Für die Cauchy gilt nicht einmal das Gesetz der großen Zahlen! tE(|X|)E(X2)
Andrew M
Ohhh, interessant! Ich schätze, ich habe dort wirklich einige Nuancen überflogen.
Matthew Drury
Wenn ich mich recht erinnere, gibt es tatsächlich einen entsprechenden Grenzwertsatz für t2 und Cauchy. Wenn ich mich richtig erinnere, konvergiert eine geeignete Wahl der Standardisierung als Funktion von von t2s - sehr langsam - zur Normalität, während wir für das Cauchy haben, dass die Stichprobenmittel die gleichen Cauchy sind, mit denen wir begonnen haben. nX¯−μ
Glen_b -State Monica