Hier ist, was Sie vermissen. Die asymptotische Verteilung beträgt nicht X¯n (Mittelwert der Stichprobe), sondern , wobeiθn−−√(X¯n−θ)θ der Mittelwert von .X
Sei eine Zufallsvariable, so dass a < X i < b und X i den Mittelwert θ und die Varianz σ 2 haben . Also X iX1,X2,…a<Xi<bXiθσ2Xi die Unterstützung begrenzt. Das CLT sagt, dass
n−−√(X¯n−θ)→dN(0,σ2),
wobei der Stichprobenmittelwert ist. JetztX¯n
a<a<a−θ<n−−√(a−θ)<Xi<bX¯n<bX¯n−θ<b−θn−−√(X¯n−θ)<n−−√(b−θ).
Als tendieren die Untergrenze und die Obergrenze zu - ∞ bzw. ∞ und somit zu n → ∞n→∞−∞∞n→∞ Unterstützung von ist genau die ganze reelle Linie.n−−√(X¯n−θ)
Wann immer wir die CLT in der Praxis verwenden, sagen wir , und dies wird immer eine Annäherung sein.X¯n≈N(θ,σ2/n)
EDIT: Ich denke, ein Teil der Verwirrung beruht auf der Fehlinterpretation des zentralen Grenzwertsatzes. Sie haben Recht, dass die Stichprobenverteilung des Stichprobenmittelwerts
X¯n≈N(θ,σ2/n).
Die Stichprobenverteilung ist jedoch eine Eigenschaft endlicher Stichproben. Wie Sie sagten, wollen wir ; Sobald wir dies tun, ist das ≈- Zeichen ein genaues Ergebnis. Wenn wir jedoch n → ∞ lassen , können wir kein n mehr auf der rechten Seite haben (da n jetzt ∞ ist ). Die folgende Aussage ist also falsch ˉ X n d → N ( θ , σ 2 / n ) als n → ∞ .n→∞≈n→∞nn∞
X¯n→dN(θ,σ2/n) as n→∞.
[Hier steht für Konvergenz in Bezug auf die Verteilung]. Wir wollen das Ergebnis genau aufschreiben, damit das n nicht auf der rechten Seite steht. Hier verwenden wir nun Eigenschaften von Zufallsvariablen, um zu erhalten→dn
n−−√(X¯n−θ)→dN(0,σ2)
Schauen Sie sich die Antwort hier an, um zu sehen, wie die Algebra funktioniert .
Wenn Sie sich auf einen zentralen Grenzwertsatz beziehen, beachten Sie, dass ein geeigneter Weg zum Ausschreiben darin besteht
unter normalen Bedingungen ( der Mittelwert und die Standardabweichung von x i ist)μ,σ xi ).
(implying the approximation is clearly never perfect), asn→∞ ,
So that discrepancy between the actual distribution and approximate distribution is disappearing, as is supposed to happen with approximations.
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